[論文レビュー] Multi-ordered Lasserre hierarchy for large scale polynomial optimization in real and complex variables

Cédric Josz, Daniel K. Molzahn|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2017

Numerical methods for differential equations被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、実数および複素数変数における大規模な多項式最適化のためのマルチオーダーLasserre階層を導入し、変数の緩和順序とモーメントに基づく精錬によって実行可能性を向上させている。ヒポノルマル性を用いることで有限収束を達成し、最大4,500変数および14,500制約を含む問題を解き、最適潮流問題において有効性を示している。

ABSTRACT

We propose general notions to deal with large scale polynomial optimization problems and demonstrate their efficiency on a key industrial problem of the twenty first century, namely the optimal power flow problem. These notions enable us to find global minimizers on instances with up to 4,500 variables and 14,500 constraints. First, we generalize the Lasserre hierarchy from real to complex to numbers in order to enhance its tractability when dealing with complex polynomial optimization. Complex numbers are typically used to represent oscillatory phenomena, which are omnipresent in physical systems. Using the notion of hyponormality in operator theory, we provide a finite convergence criterion which generalizes the Curto-Fialkow conditions of the real Lasserre hierarchy. Second, we introduce the multi-ordered Lasserre hierarchy in order to exploit sparsity in polynomial optimization problems (in real or complex variables) while preserving global convergence. It is based on two ideas: 1) to use a different relaxation order for each constraint, and 2) to iteratively seek a closest measure to the truncated moment data until a measure matches the truncated data. Third and last, we exhibit a block diagonal structure of the Lasserre hierarchy in the presence of commonly encountered symmetries.

研究の動機と目的

• 実数および複素数変数における大規模な多項式最適化の計算的非実行可能性に対処すること。
• 振動系における実行可能性を向上させるために、Lasserre階層の複素数への一般化を開発すること。
• スパarsityを活用しつつもグローバル収束性を保つマルチオーダー階層を導入すること。
• 対称性に起因するブロック対角構造を活用して、さらに計算効率を向上させること。
• エネルギー系分野の主要な産業的課題である最適潮流問題に対して、フレームワークを実証すること。

提案手法

• 演算子理論におけるヒポノルマル性を有限収束の基準として用い、Lasserre階層を実数から複素数に一般化する。
• 各制約に異なる緩和順序を割り当てることでスパarsityを活用するマルチオーダー手法を導入する。
• 断片的なモーメントデータと一致する測度を求める反復的精錬を用い、収束精度を向上させる。
• 対称性を有する多項式最適化問題にこの手法を適用し、モーメント行列にブロック対角構造が生じることを明らかにする。
• マルチオーダー階層と対称性の活用を組み合わせ、計算複雑度を低減する。
• 最大4,500変数および14,500制約を含む最適潮流問題に対して、フレームワークを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lasserre階層は、有限収束保証のもとで複素数多項式最適化に一般化可能か？
• RQ2 グローバル収束性を損なわず、大規模な多項式最適化問題におけるスパarsityをどのように活用できるか？
• RQ3 ヒポノルマル性は、複素数多項式最適化における有限収束を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 マルチオーダー緩和戦略は、グローバル最適性を維持しつつスケーラビリティを向上させられるか？
• RQ5 多項式最適化問題における対称性は、Lasserre階層の構造にどのような影響を与えるか？

主な発見

• ヒポノルマル性のもとで、複素数多項式最適化の一般化されたLasserre階層は有限収束を達成し、Curto-Fialkow条件を拡張する。
• マルチオーダーLasserre階層は、変数の緩和順序を活用することでスパarsityを活用しつつも、グローバル収束性を保証する。
• 断片的なモーメントデータの反復的精錬により、データと一致する測度が得られ、グローバル最小値への収束が保証される。
• 問題構造の対称性により、モーメント行列にブロック対角構造が生じ、計算コストが顕著に低減される。
• 本フレームワークは、最大4,500変数および14,500制約を含む最適潮流問題を効果的に解き、スケーラビリティを実証した。