[論文レビュー] Multicomplexes, bounded cohomology and additivity of simplicial volume

Thilo Kuessner|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2001

Geometric and Algebraic Topology参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、アーベル的部分多様体に沿った貼り合わせに関して、コンパクトな境界付き多様体の単体的体積の加法性および超加法性の性質を、初等的なホモロジー的議論を用いて確立する。単体的体積が、基本群がアーベル的な圧縮不能トーラスまたはアンヌラスに沿って貼り合わされた場合に加法的であることを証明し、グロモフの結果を境界付き多様体に拡張するとともに、スレスタンの未発表の結果に依存しない自己完結的な証明を提供する。

ABSTRACT

We discuss some additivity properties of the simplicial volume for manifolds with boundary: we give proofs of additivity for glueing amenable boundary components and of superadditivity for glueing amenable submanifolds of the boundary, and we discuss doubling of 3-manifolds.

研究の動機と目的

• 単体的体積のグロモフの加法性結果を境界付きコンパクト多様体に拡張すること。
• 高次のツールを用いた先行研究を避けるために、アーベル的部分多様体に沿った貼り合わせに対して、初等的かつ自己完備な証明を提供すること。
• 境界部分多様体に沿った切断・貼り合わせにおいて、単体的体積が加法的または超加法的となる条件を明確にすること。
• 圧縮不能境界を持つ3次元多様体の二重化における単体的体積の挙動を解消すること。
• 境界がアーベル的条件を満たす圧縮不能トーラスおよびアンヌラスに沿った分解に関して、非可縮3次元多様体の単体的体積が加法的であることを示すこと。

提案手法

• 基本的類の代表元におけるl¹ノルムの下限として単体的体積を定義するため、相対的特異チェインにグロモフノルムを用いる。
• チェイン写像とリトラクションの議論を用いて、貼り合わせた多様体のサイクルと各部品のサイクルとの関係を確立し、ノルムの制御を保証する。
• 貼り合わせ部分多様体のπ₁の像が周囲多様体内でアーベル的であるという条件を用いて、ノルムの増幅を制御する。
• ホモロジーにおけるマイヤー＝ビエトリス完全列を適用し、各部品の基本類と貼り合わせた多様体の基本類との関係を関係づける。
• 境界成分がアーベル的である場合、多様体の二重化が単体的体積を保存または減少させることを用いる。
• ハンドル体とその二重体を分析し、単体的体積が大きくても二重体の単体的体積がゼロである例を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本群がアーベル的な境界部分多様体に沿って2つの多様体を貼り合わせるとき、単体的体積が加法的となる条件は何か？
• RQ2 高度な幾何的・解析的ツールを用いずに、初等的なホモロジー的手法によって単体的体積の加法性を証明できるか？
• RQ3 圧縮不能境界とアーベル的境界成分を持つ3次元多様体の二重化において、単体的体積はどのように変化するか？
• RQ4 基本群がアーベル的な圧縮不能アンヌラスまたはトーラスに沿って切断すると、単体的体積はどのように変化するか？
• RQ5 ハンドル体の単体的体積について、その genus に対して非自明な上界が存在するか？ また、これとその二重体との関係は何か？

主な発見

• 2つのコンパクトn次元多様体を、基本群がアーベル的である境界成分に沿って貼り合わせるとき、包含写像によるπ₁の核が貼り合わせの同相写像で保存される限り、単体的体積は加法的である。
• 圧縮不能境界を持つ3次元多様体の二重体の単体的体積は、境界成分がアーベル的で、貼り合わせが核条件を満たす限り、元の多様体の単体的体積の2倍に等しい。
• 圧縮不能境界を持つ3次元多様体において、基本群がアーベル的な圧縮不能トーラスまたはアンヌラスに沿って貼り合わせる場合、単体的体積は加法的である。
• 単体的体積が任意に大きな値をとる3次元多様体が存在し、その二重体の単体的体積はゼロである。これは、一般に二重化操作が単体的体積を保存しないことを示している。
• 境界作用素は ∥∂∥ ≤ n を満たし、不等式 ∥M, ∂M∥ ≥ 1/n ∥∂M∥ が得られる。ハンドル体 H_g に対しては、単体的体積は genus に対して線形に増加し、増加定数の下界は 4/3 である。