[論文レビュー] Multidimensional Lévy White Noises in Weighted Besov Spaces

Julien Fageot, Alireza Fallah+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ウェーブレットに基づく手法と一般化されたモーメント推定を用いて、重み付きおよび局所的ベソフ空間における多次元レヴィ白色ノイズのベソフ正則性を確立する。主な貢献は、局所的およびグローバルな滑らかさおよび可積分性の性質をそれぞれ制御する、ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数 β₀ および β∞ を用いた、これらの関数空間へのほとんど確実な属する条件の特徴付けである。

ABSTRACT

In this paper, we study the Besov regularity of d-dimensional Lévy white noises. More precisely, we describe new sample paths properties of a given white noise in terms of weighted Besov spaces. In particular, the smoothness and integrability properties of Lévy white noises are characterized using the Blumenthal-Getoor indices. Our techniques rely on wavelet methods and generalized moments estimates for Lévy white noises.

研究の動機と目的

• 点での解釈が不可能なため、重み付きおよび局所的ベソフ空間における d 次元レヴィ白色ノイズの正則性を特徴付けること。
• 対称 α 稳重ノイズおよびガウス白色ノイズに関する先行研究を、ℝᵈ 上の一般レヴィ白色ノイズへと拡張すること。
• ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数を用いて、レヴィ白色ノイズが重み付きベソフ空間にほとんど確実に属するための十分条件を確立すること。
• ベソフ空間の細かい構造を活用することで、ソボレフ空間やホルダー空間を超える正則性の測定フレームワークを構築すること。
• ウェーブレットおよびモーメント推定技術を用いて、レヴィ過程に関する既存の結果を白色ノイズ設定へ一般化すること。

提案手法

• 緩和された緩和関数空間 𝒮′(ℝᵈ) における一般化された確率過程の枠組みを用い、レヴィ白色ノイズの厳密な定義を可能にする。
• 重み付きベソフ空間のウェーブレットに基づく特徴付けを適用し、[44] で開発された理論を活用して局所的およびグローバルな正則性を分析する。
• 𝒮(ℝᵈ) 内のテスト関数を用いて、レヴィ白色ノイズの一般化されたモーメント推定を導出し、古典的手法を白色ノイズ設定へ拡張する。
• 重み付きベソフ空間の可測性を 𝒮′(ℝᵈ) 上の円筒σ-代数に関して証明し、正則性の確率論的分析を可能にする。
• ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数 β₀（原点付近）および β∞（無限遠）の役割を導入・分析し、ノイズの正則性を制御する主要パrameterとして位置づける。
• レヴィ＝キンチン表現を用いて、任意の β₀, β∞ ∈ [0,2] を持つレヴィ白色ノイズの構成を行い、すべてのこのようなペアに対してその存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の d 次元レヴィ白色ノイズは、重み付きおよび局所的ベソフ空間においてどの程度のベソフ正則性を示すか？
• RQ2 ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数 β₀ および β∞ は、レヴィ白色ノイズの滑らかさおよび可積分性をどのように特徴付けるか？
• RQ3 ウェーブレットに基づく手法およびモーメント推定は、非ガウス型レヴィ白色ノイズの正則性を分析するために適応可能か？
• RQ4 レヴィトリプレットと関連する白色ノイズのベソフ正則性との関係は何か？
• RQ5 滑らかさおよび可積分性のパrameter（p, q, τ）がどの範囲にある場合に、レヴィ白色ノイズが与えられた重み付きまたは局所的ベソフ空間にほとんど確実に属するか？

主な発見

• d 次元のレヴィ白色ノイズは、滑らかさパラメータ τ が τ < β∞/p − d/2 を満たし、重みパラメータ ω が β₀ と関係する場合、ほとんど確実に重み付きベソフ空間 B_{p,q}^{τ,ω}(ℝᵈ) に属する。
• ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数 β∞ は局所的正則性を支配する：β∞ が大きいほど、局所的ベソフ空間における可積分性および滑らかさが向上する。
• ブリューメンタール＝ゲトゥアール指数 β₀ は重み付きベソフ空間における重みの減衰率を決定する。β₀ = 0 は次数 0 の多項式的重みに対応し、β₀ = 2 は対数的補正に対応する。
• 任意の β₀, β∞ ∈ [0,2] に対して、べき則および対数的尾部を持つ適切なレヴィ測度 ν を構成することで、それらの指数を持つレヴィ白色ノイズが存在することが示された。
• 本結果は、ガウス型および対称 α 稳重白色ノイズに関する先行研究を一般化し、レヴィ白色ノイズの全クラスへ拡張する。
• フレームワークにより正則性の局所化が可能である：τ < β∞/p − d/2 を満たす場合、レヴィ白色ノイズはほとんど確実に B_{p,q}^{τ,loc}(ℝᵈ) に属する。正則性領域は図 2 に視覚化されている。