[論文レビュー] Multifraction reduction IV: Padding and Artin-Tits groups of sufficiently large type

Patrick Dehornoy, Derek F. Holt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Artin–Tits群における語問題の解法の収束条件を弱めるために、パッド付き多分数還元を導入する。Artin–Titsモノイドが十分に大きな型である場合——Coxeter図にちょうど1つの辺が2でラベル付けされた三角形が存在しない場合——には、$Σ$-還元が計算可能なパディングまで半収束的であることが証明され、還元法を用いた語問題の決定可能性が確立される。

ABSTRACT

We investigate the padded version of reduction, an extension of multifraction reduction as defined in arXiv:1606.08991, and connect it both with ordinary reduction and with the so-called Property $\mathrm{H}$. As an application, we show that all Artin-Tits groups of sufficiently large type satisfy some weakening Conjecture $\mathrm{A^{padded}}$ of Conjecture $\mathrm{A}$, thus showing that the reduction approach is relevant for these groups.

研究の動機と目的

• 多分数還元の適用範囲を既知のFC型を超えて広げるために、弱めた収束条件を導入すること。
• 包絡群における語問題の決定可能性に十分な条件として、$Σ$-還元のパッド付き半収束性を確立すること。
• gcd-モノイドにおけるパッド付き半収束性と性質H、および分割還元（$Σ$-還元）の関係を明らかにすること。
• 十分に大きな型のArtin–Titsモノイドが、パッド付きのA予想を満たすことを証明し、還元法の適用範囲を拡張すること。
• このような群における必要パディングの二次関数的上界を提供し、結果の有効性を示すこと。

提案手法

• 多分数の先頭に偶数個の自明な成分を挿入することで定義される$f$-パディングを導入し、収束条件を弱める。
• $Σ$-還元のパッド付き半収束性を、包絡群における語問題の決定可能性の十分条件として定義する。
• $Σ$-還元のパッド付き半収束性、分割還元（$Σ$-還元）の半収束性、およびgcd-モノイドのlcm提示における性質Hの同値性を確立する。
• [10]および[8]の技術的分析を詳細に行い、十分に大きな型のArtin–Titsモノイドにおいて、必要なパディングが入力語長の二次関数で有界であることを示す。
• 部分語反転と分数正規形の枠組みを用いて、多分数を$Σ$-還元により標準的代表元に変換する。
• 十分に大きな型のArtin–Titsモノイドにおいて性質Hが成り立つことを利用し、必要な半収束性がパディングまで成立することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 十分に大きな型のArtin–Tits群における語問題は、完全収束性の欠如にもかかわらず、多分数還元を用いて解けるか？
• RQ2 入力が十分に大きな型のArtin–Titsモノイドにおいて、$Σ$-還元が計算可能なパディングまで半収束的になるようなパディング関数が存在するか？
• RQ3 パッド付き半収束性は、gcd-モノイドにおける性質Hおよび分割還元（$Σ$-還元）とどのように関係するか？
• RQ4 この弱めた収束条件を用いることで、還元法はFC型Artin–Tits群を超えて拡張可能か？
• RQ5 十分に大きな型のArtin–Titsモノイドにおける半収束性のためのパディングの数量的上限は何か？

主な発見

• 本稿では、十分に大きな型のすべてのArtin–Titsモノイドについて、$Σ$-還元が計算可能なパディング関数まで半収束的であることが証明され、弱めたA予想${}^{ ext{padded}}$を満たすことが示された。
• 必要なパディングの上界として二次関数が確立され、特に$N \geq 4\sum_{i=1}^{k}|v_{i}|$（$k$は部分語の数、$|v_i|$はそれらの長さ）が成り立つ。
• $Σ$-還元のパッド付き半収束性は、モノイドのlcm提示における性質Hの成立と同値である。
• この結果により、多分数還元法が従来よりもはるかに広いクラスのArtin–Tits群に適用可能であることが確認された。
• 十分に大きな型のArtin–Tits群の語問題は、パディングが計算可能であれば、還元法によって決定可能である。
• 本稿では、指数が$3,3,3,3,3,2$のモノイドの場合は未解決のまま残されており、これは還元法の適用において最初の未解決事例のままである。