[論文レビュー] Multigrid Methods for Constrained Minimization Problems and Application to Saddle Point Problems

Long Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、ポアソン方程式、ダルシー方程式、ストークス方程式などのPDEの混合有限要素離散化から生じる制約付き最小化問題および鞍点系に対する多重グリッド法を提示する。制約空間の多レベル分解に基づき、逐次部分空間最適化としてこの手法を解釈し、乗法的ゼロ和スイッチャー平滑化法（ヴァンカ型）を用いることで、安定的分解および強化されたコーシー・シュワーツの仮定の下で、完全正則性を仮定しない場合でも一様収束を証明する。さらに、1回の平滑化ステップで十分な非適合有限要素法へもこの枠組みを拡張する。

ABSTRACT

The first order condition of the constrained minimization problem leads to a saddle point problem. A multigrid method using a multiplicative Schwarz smoother for saddle point problems can thus be interpreted as a successive subspace optimization method based on a multilevel decomposition of the constraint space. Convergence theory is developed for successive subspace optimization methods based on two assumptions on the space decomposition: stable decomposition and strengthened Cauchy-Schwarz inequality, and successfully applied to the saddle point systems arising from mixed finite element methods for Poisson and Stokes equations. Uniform convergence is obtained without the full regularity assumption of the underlying partial differential equations. As a byproduct, a V-cycle multigrid method for non-conforming finite elements is developed and proved to be uniform convergent with even one smoothing step.

研究の動機と目的

• 混合有限要素法における鞍点系に起因する制約付き最小化問題に対する多重グリッド法の開発。
• 安定的分解（SD）および強化されたコーシー・シュワーツ（SCS）の2つの主要仮定に基づく、逐次部分空間最適化の収束理論の確立。
• ポアソン方程式、ダルシー方程式、ストークス方程式の混合有限要素法におけるVサイクル多重グリッドの、完全正則性の仮定なしに一様収束することの証明。
• 非適合有限要素法への枠組みの拡張。1回の平滑化ステップでの一様収束を証明。
• 多重グリッドにおける乗法的ゼロ和スイッチャー平滑化法の理論的基礎の構築。これにより、従来の解析が加法的バージョンに限られていた空白を埋める。

提案手法

• 制約空間 $\mathcal{K}$ の多段階分解を用い、$\mathcal{K} = \sum_{i=1}^{N} \mathcal{K}_i$ とし、各部分空間 $\mathcal{K}_i$ で局所的制約付き最小化問題を解く。
• 各局所問題は、小さな鞍点系を解くことに等価であり、乗法的重複ゼロ和スイッチャー平滑化法（ヴァンカ平滑化法）として解釈される。
• エネルギー的安定的分解（SD）および強化されたコーシー・シュワーツ（SCS）の2つの仮定の下で収束を証明し、収縮係数 $1 - \frac{1}{1 + C_A C_S}$ を得る。
• 局所問題の正確な解が得られない場合にも適用可能であり、正確な解の代わりに1回の勾配反復を用いる。最適な緩和パラメータは、最小化の観点から導出される。
• 非適合法では、重複するゼロ和スイッチャー平滑化法と、ネストされたフラックス空間を介したグリッド間移行作用素を用いる。これは、混合法との等価性を活用する。
• 解析は、ポアソン方程式およびダルシー方程式の $H(\text{div})$ 有限要素、ストークス方程式の発散自由かつネストされた有限要素に適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次部分空間最適化に基づく多重グリッド法は、混合有限要素法に起因する鞍点系に対して一様収束を達成できるか？
• RQ2 従来の多重グリッド解析で一般的に要求される完全正則性の仮定なしに、収束理論は成立するか？
• RQ3 1回の平滑化ステップで十分な非適合有限要素法へもこの枠組みを拡張できるか？
• RQ4 乗法的ゼロ和スイッチャー平滑化法が、鞍点問題の多重グリッド法において理論的に正当化できるか？（過去の解析が加法的バージョンに限られていたため。）
• RQ5 クルアゼ・ラヴィエル非適合法と混合法との等価性を活用して、ポアソン方程式に対する一様収束するVサイクル多重グリッドを設計できるか？

主な発見

• 安定的分解（SD）および強化されたコーシー・シュワーツ（SCS）の仮定の下で、ポアソン方程式およびダルシー方程式の混合有限要素離散化に対して、Vサイクル多重グリッド法の収束が一様に保証される。解の完全正則性は必要としない。
• 非適合有限要素法に対しても、1回の平滑化ステップでの一様収束が達成され、これは従来の多重グリッド収束理論ではカバーされていなかった結果である。
• 3次元におけるラヴィエル・トーマス要素に対する、双対性の議論を回避する新しい多段階分解を提案。これにより、完全正則性の仮定が緩和される。
• ネストされた発散自由有限要素を用いたストークス方程式に対しても、収束理論が拡張され、完全正則性の仮定なしに一様収束が証明される。Vサイクルに1回の平滑化ステップを用いても成立する。
• ヴァンカ平滑化法の明確なエネルギー最小化的解釈が得られ、最適な緩和パラメータの選択が最小化原理に基づいて正当化される。
• 多段階 $H(\text{div})$ 空間において、強化されたコーシー・シュワーツ不等式および安定的分解が成り立つことが確認され、混合法の収束証明が可能になった。