[論文レビュー] Multilevel distillation of magic states for quantum computing

Cody Jones|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、横断的ハダマードゲートを備えた連結CSS符号（H符号と呼ばれる）の族を用いて、低精度の魔法状態を消費することで高精度の純粋化を実現する、多段階の魔法状態蒸留法を提案する。この手法は、資源のスケーリングが漸近的に最適に近づき、出力状態の不正確性が $O(\epsilon^{2^r})$ にまで低下するように、$2^r + 1$ 個の入力状態で実現される。理論的最適限界に非常に近づき、不正確性が $10^{-7}$ 未満の範囲では、既存のプロトコルを上回る性能を発揮する。

ABSTRACT

We develop a procedure for distilling magic states used in universal quantum computing that requires substantially fewer initial resources than prior schemes. Our distillation circuit is based on a family of concatenated quantum codes that possess a transversal Hadamard operation, enabling each of these codes to distill the eigenstate of the Hadamard operator. A crucial result of this design is that low-fidelity magic states can be consumed to purify other high-fidelity magic states to even higher fidelity, which we call "multilevel distillation." When distilling in the asymptotic regime of infidelity $ε ightarrow 0$ for each input magic state, the number of input magic states consumed on average to yield an output state with infidelity $O(ε^{2^r})$ approaches $2^r+1$, which comes close to saturating the conjectured bound in [Phys. Rev. A 86, 052329]. We show numerically that there exist multilevel protocols such that the average number of magic states consumed to distill from error rate $ε_{\mathrm{in}} = 0.01$ to $ε_{\mathrm{out}}$ in the range $10^{-5}$ to $10^{-40}$ is about $14\log_{10}(1/ε_{\mathrm{out}}) - 40$; the efficiency of multilevel distillation dominates all other reported protocols when distilling Hadamard magic states from initial infidelity 0.01 to any final infidelity below $10^{-7}$. These methods are an important advance for magic-state distillation circuits in high-performance quantum computing, and they provide insight into the limitations of nearly resource-optimal quantum error correction.

研究の動機と目的

• ユニバーサルフォールトトレランス型量子計算のための、よりリsources効率の良い魔法状態蒸留プロトコルの開発。
• 現在の蒸留回路が量子コンピュータのリソース要件の大部分を占めているという高コスト問題に対処。
• 連結量子符号に横断的ハダマード操作を組み合わせ、階層的純粋化を可能にする蒸留方式の設計。
• 低精度の入力から高精度の魔法状態を蒸留する際のリソーススケーリングにおいて、理論的最適限界に非常に近い性能を達成すること。

提案手法

• 論理的ハダマード操作が横断的であるような、$[[n, n-4, 2]]$ 型のカルダーブルク・ショア・シュリーヴィング（CSS）符号の族（H符号と呼ぶ）を提案。
• 連結H符号を用いて多段階蒸留を実装し、低精度の魔法状態を消費して高精度のものを純粋化する。
• 階層的な回路構造を採用し、符号階層の異なる段階で、不正確性が異なる入力魔法状態を適用する。
• エラー訂正操作を再帰的に適用することで不正確性を低下させ、誤差を指数関数的に抑制する蒸留プロトコルを設計。
• 複数の連結レベルにおける性能を数値的に評価し、出力状態1つあたりの平均入力数が最小になるよう最適化。
• プロトコルが漸近的に、資源コストの推定下限に近づくことを示し、出力不正確性が $O(\epsilon^{2^r})$ である場合、平均消費リソースが $2^r + 1$ に比例することを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低精度の魔法状態を消費して高精度のものを純粋化する蒸留プロトコルを設計可能か？ これにより総合的なリソースコストが低減できるか？
• RQ2 漸近的状態において、目標出力不正確性を達成するために必要な最小入力魔法状態数は何か？
• RQ3 魔法状態蒸留のリソースコストの理論的下限に、どの程度近づけるか？
• RQ4 横断的ハダマード操作を持つ連結量子符号が、階層的で多段階の純粋化戦略を可能にするか？
• RQ5 初期不正確性が 0.01 から出発し、最終的な不正確性が $10^{-40}$ 未満になるように蒸留する場合、そのプロトコルの性能スケーリングはどのようになるか？

主な発見

• 多段階蒸留プロトコルは、初期不正確性 $\epsilon_{\text{in}} = 0.01$ から出発し、出力不正確性が $10^{-5}$ から $10^{-40}$ の範囲に達するまで、平均して約 $14\log_{10}(1/\epsilon_{\text{out}}) - 40$ 個の入力魔法状態を要する。
• 漸近的不正確性 $\epsilon \to 0$ の場合、プロトコルは出力不正確性が $O(\epsilon^{2^r})$ にまで低下するように、わずか $2^r + 1$ 個の入力魔法状態で実現可能であり、推定された理論的限界に非常に近づく。
• 不正確性が $10^{-7}$ 未満にまで蒸留する場合、すべての既存の報告済み手法を効率面で上回り、特に高精度応用において顕著な優位性を示す。
• 数値シミュレーションにより、複数の連結レベルにわたり、プロトコルが高い効率を維持していることが確認され、各段階で出力不正確性が指数関数的に低下する。
• この手法により、総合的なリソースオーバーヘッドが顕著に削減され、フォールトトレランス型量子計算における高精度魔法状態の利用が容易になる。
• 横断的ハダマード操作を持つH符号の使用により、多段階構造が可能となり、低精度のアシスタント状態が、より高レベルの符号化状態の精度を向上させることを可能にする。