[論文レビュー] Multilevel Monte-Carlo for computing the SCR with the standard formula and other stress tests

Aurélien Alfonsi, Adel Cherchali+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2020

Insurance, Mortality, Demography, Risk Management参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、生命保険のALMポートフォリオにおける将来的な日付におけるSolvency II標準式およびストレステスト下でのSolvency Capital Requirement（SCR）を計算するための多段階モンテカルロ（MLMC）推定器を提案する。特に、条件付き期待値の最大値における正則性に依存する理論的収束レートを確立し、最小二乗モンテカルロ法やニューラルネットワークと比較して優れた計算効率を示す。特に、回帰による経路依存性の問題を回避する点が顕著である。

ABSTRACT

This paper studies the multilevel Monte-Carlo estimator for the expectation of a maximum of conditional expectations. This problem arises naturally when considering many stress tests and appears in the calculation of the interest rate module of the standard formula for the SCR. We obtain theoretical convergence results that complements the recent work of Giles and Goda and gives some additional tractability through a parameter that somehow describes regularity properties around the maximum. We then apply the MLMC estimator to the calculation of the SCR at future dates with the standard formula for an ALM savings business on life insurance. We compare it with estimators obtained with Least Square Monte-Carlo or Neural Networks. We find that the MLMC estimator is computationally more efficient and has the main advantage to avoid regression issues, which is particularly significant in the context of projection of a balance sheet by an insurer due to the path dependency. Last, we discuss the potentiality of this numerical method and analyze in particular the effect of the portfolio allocation on the SCR at future~dates.

研究の動機と目的

• Solvency II標準式下での将来的な日付におけるSolvency Capital Requirement（SCR）を数値的に効率よく計算する手法の開発。
• ストレステストおよびSCR計算に生じる条件付き期待値の最大値の期待値を推定する課題に対処すること。
• 特に最大値回りの正則性条件下で、この文脈における多段階モンテカルロ推定器の理論的収束保証を提供すること。
• ALMおよび生命保険ポートフォリオの文脈において、MLMC推定器を最小二乗モンテカルロ法やニューラルネットワークベースの推定器と比較すること。
• 提案された数値フレームワークを用いて、ポートフォリオ資産配分が将来的なSCR値に与える影響を分析すること。

提案手法

• 本稿は、標準式下のストレステストにおいて生じる条件付き期待値の最大値の期待値としてSCRを計算するため、多段階モンテカルロ（MLMC）推定器を適用する。
• 正則性パラメータηを用いた理論的枠組みを導入し、条件付き分散が最大値付近でどのように振る舞うかに応じて、MLMC推定器の収束速度と関連付ける。
• 経路の階層的離散化を用い、粗いレベルと細かいレベルの間の差分推定器の分散を低減する。
• 主な要素には、条件付き期待値、最大値回りの符号変化を示すインジケータ関数、推定誤差のモーメントの境界が含まれる。
• 条件付き期待値の性質、モーメント不等式、およびタワー性質を用いて、レベル間の分散を制御する理論的境界を導出する。
• 回帰を回避するため、経路ごとのMLMCサンプリングにより、条件付き期待値の最大値を直接推定する。これにより、回帰近似に起因するバイアスが低減される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SCRが条件付き期待値の最大値を含む場合に、多段階モンテカルロ法が理論的にどのように正当化されるか。
• RQ2 この文脈におけるMLMC推定器の収束を保証する、基礎となる確率過程の正則性条件は何か。
• RQ3 将来的なSCR計算において、MLMC推定器は最小二乗モンテカルロ法やニューラルネットワークベースの推定器と比較して、計算効率および精度でどのように優れるか。
• RQ4 MLMCシミュレーションフレームワークを通じて、資産配分が将来的な予測SCRに与える影響は何か。
• RQ5 回帰に基づく近似を用いずに、ALM設定における経路依存キャッシュフローおよびバランスシート予測をMLMC法が効果的に処理できるか。

主な発見

• MLMC推定器の差分推定器の分散は、正則性パrameter ηを用いて、K^(-1 - η/2) のオーダーで収束する。ここで、ηは最大値回りの条件付き分布の正則性を定量化する。
• 理論的境界から、条件付き分散 D^p_{2+η}(X) が良好に振る舞い、最大値からの距離が小さすぎない場合、MLMC差分推定器の分散がより速く減少することが示された。
• 数値実験において、MLMC推定器は、SCR予測の計算効率において、最小二乗モンテカルロ法およびニューラルネットワーク推定器を上回った。
• MLMC法は、回帰に基づく手法に内在する経路依存性の問題を回避するため、長期的ALMおよびバランスシートストレステストに特に適している。
• 本手法は、ポートフォリオ資産配分が時間経過に伴うSCRの変化に顕著に影響することを明らかにした。これは、戦略的資産配分およびコスト・オブ・キャピタルモデリングに影響を及ぼす。
• フレームワークは頑健でスケーラブルであり、理論的保証が整っているため、実用的なSolvency IIおよびORSA（自社リスク・ソルブェンシー評価）応用に適している。