[論文レビュー] Multipartite entanglement in two-dimensional chiral topological liquids

Yuhan Liu, Yuya Kusuki+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2023

Quantum many-body systems参考文献 39被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンformal field theory（CFT）およびボトム・バウンダリー対応を用いて、2次元キラルトポロジカル液体におけるマルチパーティクルもつれの解析的枠組みを提供する。有理的CFTにおける $ p $-頂点状態に対して、普遍的なマークフ・ギャップ $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ が導出され、二部もつれ測度を超えるトポロジカルもつれ構造を説明し、数値的証拠によって確認されている。

ABSTRACT

The multipartite entanglement structure for the ground states of two dimensional topological phases is an interesting albeit not well understood question. Utilizing the bulk-boundary correspondence, the calculation of tripartite entanglement in 2d topological phases can be reduced to that of the vertex state, defined by the boundary conditions at the interfaces between spatial regions. In this paper, we use the conformal interface technique to calculate entanglement measures in the vertex state, which include area law terms, corner contributions, and topological pieces, and a possible additional order one contribution. This explains our previous observation of the Markov gap $h = \frac{c}{3} \ln 2$ in the 3-vertex state, and generalizes this result to the $p$-vertex state, general rational conformal field theories, and more choices of subsystems. Finally, we support our prediction by numerical evidence, finding precise agreement.

研究の動機と目的

• 2次元キラルトポロジカル位相におけるマルチパーティクルもつれの解析的理解を構築すること。これは、二部もつれにおける進展にもかかわらず、依然として十分に理解されていない。
• 自由フェルミオンモデルで観測された普遍的マークフ・ギャップ $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ を、一般の有理的CFTおよび $ p $-頂点状態へと一般化すること。
• 欠損CFTおよびコンformalインターフェース技術を用いて、三部もつれおよびそれ以上の高次もつれ測度（例えば、反射もつれやもつれ負の量）を体系的に計算する方法を確立すること。
• キラルインソレーター格子模型における数値的観測であるマークフ・ギャップが、$ h \geq \frac{c}{3}\ln 2 $ において下界をなすという事実に対して、解析的根拠を提供すること。
• マークフ・ギャップが、安定的でギャップのないエッジモードの普遍的特徴であることを示し、それがキラル中心電荷 $ c $ と関連していること

提案手法

• ボトム・バウンダリー対応を用いて、2次元トポロジカル基底状態のもつれ構造を、欠損を伴うリーマン面上の境界CFTに写像する。
• 頂点状態におけるもつれ測度を計算するため、コンformalインターフェース技術を適用する。頂点状態は空間的接合部における境界条件を符号化している。
• 1+1次元CFTにおけるターンオーバー演算子形式を用いて、縮約密度行列のモーメントを計算し、もつれエントロピー、相互情報量、反射もつれ、および負の量を抽出する。
• リーマン＝ヒルツの公式を用いて、レプリカ多様体のジェネスを導出し、相関関数におけるOPE係数のトポロジカル依存性を特定する。
• 反射もつれのためのOPE係数を普遍的とみなして、$ C_{n,m} = (2m)^{-4h_n} $ として解析的に評価し、普遍的 $ \frac{c}{3}\ln 2 $ のマークフ・ギャップに至る。
• 格子模型における数値的シミュレーションを通じて、解析的結果を検証し、予測された普遍的挙動と正確に一致することを示した。

Figure 1: (a) Spacetime path integral representation of the regularized boundary state $|\mathbf{B}\rangle$ starting from the unregularized boundary state $|B\rangle$ as the initial condition, as well as $\langle B|$ and $\langle\mathbf{B}|$ as path integral. The vertical direction denotes the imagi

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由フェルミオントポロジカル位相で観測された普遍的マークフ・ギャップ $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ が、一般のキラルトポロジカル液体に対しても解析的に導出可能か。
• RQ2 空間分割のトポロジーおよび基礎となるCFTに依存するマルチパーティクルもつれ構造（特に反射もつれおよびもつれ負の量）はどのように変化するか。
• RQ3 欠損およびインターフェースCFT技術は、2次元トポロジカル位相の頂点状態におけるもつれ測度の計算にどのような役割を果たすか。
• RQ4 マークフ・ギャップは、自由フェルミオンモデルや相互作用を含む有理的CFTを越えて、キラル中心電荷 $ c $ の強力な指標であるか。
• RQ5 反射もつれおよび負の量のレプリカトリックにおけるOPE係数は、普遍的なトポロジカル寄与を明らかにする形で解析的に計算可能か。

主な発見

• 有理的CFTにおける $ p $-頂点状態のマークフ・ギャップが、解析的に $ h = \frac{c}{3}\ln 2 $ として導出され、このトポロジカルもつれ特徴の普遍性が確認された。
• 反射もつれおよび相互情報量は、ターンオーバー演算子の三点関数を通じて計算され、OPE係数がマークフ・ギャップに普遍的 $ \frac{c}{3}\ln 2 $ の寄与をもたらす。
• 高ジェネスのリーマン面における非普遍的OPE係数のため、もつれ負の量には普遍的対数項が得られない。これは、反射もつれとは明確に異なる。
• キラルインソレーター格子模型における数値的シミュレーションにより、解析的予測が確認され、マークフ・ギャップが $ \frac{c}{3}\ln 2 $ で下界に抑えられ、理想CFT極限では等号が成立することが示された。
• ボトム・バウンダリー対応から導かれる頂点状態形式を用いることで、CFT技術を用いてトポロジカル位相におけるマルチパーティクルもつれを正確に計算可能である。
• この結果により、マークフ・ギャップがキラル中心電荷 $ c $ を普遍的に探査する手段であることが確立され、2次元トポロジカル液体に安定的かつギャップのないエッジモードが存在することを示唆する。

Figure 2: The spacetime path integral can be constructed by gluing annulus amplitudes (the annulus has width $2\beta$ and circumference $L$ ). Here, as an example, $Z_{1}={\text{tr}}\,(\rho)$ is constructed for (a) $p=2$ and (b) $p=3$ . After the gluing, the spacetime manifold becomes torus and 2-ge