[論文レビュー] Multiplayer XOR games and quantum communication complexity with clique-wise entanglement

Jop Briët, Harry Buhrman+2 more|ArXiv.org|Nov 20, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 34被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、複数人XORゲームにおいて、量子優位性（エンタングルドと古典的バイアスの比）が、プレイヤーがシュミット状態またはクライクごとのエンタングルメント（GHZ状態とBell状態の組み合わせ）を共有する場合、定数に有界であることを確立している。マルチリニアグロテンディック不等式と安定化子状態に関する構造的結果を用いて、このようなエンタングルメント構造は無限大の量子優位性を生じさせないことを証明し、作用素代数における35年間未解決の問題を解決するとともに、差分法（discrepancy method）をエンタングルメントを許容する多人数量子通信複雑性へと拡張した。

ABSTRACT

XOR games are a simple computational model with connections to many areas of complexity theory. Perhaps the earliest use of XOR games was in the study of quantum correlations. XOR games also have an interesting connection to Grothendieck's inequality, a fundamental theorem of analysis, which shows that two players sharing entanglement can achieve at most a constant factor advantage over players following classical strategies in an XOR game. Perez-Garcia et al. show that when the players share GHZ states, this advantage is bounded by a constant. We use a multilinear generalization of Grothendieck's inequality due to Blei and Tonge to simplify the proof of the second result and extend it to the case of so-called Schmidt states, answering an open problem of Perez-Garcia et al. Via a reduction given in that paper, this answers a 35-year-old problem in operator algebras due to Varopoulos, showing that the space of compact operators on a Hilbert space is a Q-algebra under Schur product. A further generalization of Grothendieck's inequality due to Carne lets us show that the gap between the entangled and classical value is at most a constant in any multiplayer XOR game in which the players are allowed to share combinations of GHZ states and EPR pairs of any dimension. As an application of our results, we show that the discrepancy method in communication complexity remains a lower bound in the multiparty model where the players have quantum communication and the kinds of entanglement discussed above. This answers an open question of Lee, Schechtman, and Shraibman.

研究の動機と目的

• 特定のエンタングルメント構造下における多人数XORゲームにおける量子優位性の限界を理解すること。
• ペレス＝ガルシアらが提起した、シュミット状態における量子-古典バイアスギャップの有界性に関する未解決問題を解明すること。
• グロテンディック型不等式の適用範囲を多人数設定へと拡張し、それを量子通信複雑性に応用すること。
• 3粒子系における安定化子状態が、定数倍の量子優位性しか生じさせないことを示すこと。
• GHZ状態、EPR状態、および安定化子状態を共有する場合に、差分法が多人数量子通信複雑性においても有効な下界を保つこと。

提案手法

• ブルーイとトンジュによるグロテンディックの不等式のマルチリニア一般化を用いて、シュミット状態を共有するXORゲームのバイアスを有界化する。
• カーネのグロテンディックの不等式の一般化を適用し、GHZ状態とEPR状態の混合エンタングルメントを持つゲームを分析する。
• 安定化子状態の解析をグラフ状態に還元し、ユニタリ変換を用いてそれらをクライクごとのエンタングルメント状態に変換する。
• テンソル分解法を用いて、バイアスをエンタングルド状態上の一般化された内積の形で表現する。
• グラフ状態の構造と、それらがGHZ/EPRに類似した状態とユニタリ同値であることに基づき、達成可能な最大バイアスを有界化する。
• ゲーム理論的設定からの還元を経て、作用素代数分野、特にバロパウロスのQ代数予想を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュミット状態（GHZ状態の一般化）を用いた多人数XORゲームで、無限大の量子優位性を達成できるか？
• RQ2 プレイヤーがGHZ状態のみ、またはGHZとEPRペアの組み合わせを共有する場合、量子-古典バイアスギャップは有界か？
• RQ3 エンタングルメントを許容する多人数量子通信複雑性において、差分法が有効な下界を保つか？
• RQ4 安定化子状態の構造を活用して、3粒子系XORゲームにおける量子優位性の上限を導けるか？
• RQ5 ヒルベルト空間上のコンパクト作用素の空間は、シュール積に関してQ代数構造を有するか？（結果が示唆するところ）

主な発見

• プレイヤーがシュミット状態を共有する任意の多人数XORゲームにおいて、量子-古典バイアスギャップは定数に有界であり、ペレス＝ガルシアらの未解決問題を解決した。
• GHZ状態とEPRペアの任意の部分集合に対する組み合わせに対しても、同様に有界性が成り立ち、任意のクライクごとのエンタングルメント下でも定数倍の優位性が保証される。
• GHZ状態、EPRペア、または安定化子状態を共有する場合、多人数量子通信複雑性において差分法が有効な下界を保つ。
• 結果から、3粒子系における安定化子状態は、エンタングルメントなしの戦略に比べて定数倍以上の優位性を示せないことが示唆される。
• 本稿は、ゲーム理論的設定からの還元を経て、作用素代数分野における35年間未解決の問題を解決した。具体的には、コンパクト作用素の空間がシュール積に関してQ代数であることを示した。