[論文レビュー] Multiple Dirichlet Series and Shifted Convolutions

Jeffrey Hoffstein, Thomas A. Hulse+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、1変数および2変数の複素数におけるメロモルフィックな拡張を確立する、シフトされた多重ディリクレ級数を導入し、その研究を行う。シフトされた和の鋭い評価を導出し、モジュラー形式のL関数に対する部分凸性推定値を導く。これは、先行研究におけるランキン＝セルバーグ畳み込みを拡張し、臨界帯におけるL値を抑えるための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

We define, and obtain the meromorphic continuation of, shifted Rankin-Selberg convolutions in one and two variables. As sample applications, this continuation is used to obtain estimates for single and double shifted sums and a Burgess-type bound for $L$-series associated to modular forms of arbitrary central character. Further applications are furnished by subsequent works by the authors and their colleagues.

研究の動機と目的

• 複数変数におけるメロモルフィックな拡張を有する、シフトされた多重ディリクレ級数の理論を構築すること。
• 古典的なランキン＝セルバーグ畳み込みを、1変数および2変数のシフト畳み込みへと拡張すること。
• 解析的拡張を用いて、シフトされた和に対する強い評価およびL関数に対する部分凸性評価を導出すること。
• 任意の中心特徴を持つモジュラー形式の中心L値を抑えるための新しい手法を提供すること。
• 『概念的実証』の応用を通じて、シフトされた多重ディリクレ級数が部分凸性のための有効なツールであることを示すこと。

提案手法

• モジュラー形式 $ f $ および $ g $ に対して、$ D(s;h) = \sum_{m \geq 1} \frac{a(m+h)\overline{b}(m)}{m^{s+k-1}} $ としてシフトされたディリクレ級数を定義し、ランキン＝セルバーグ畳み込みを一般化する。
• スペクトル分解および自動形式表現論を用いて、$ D(s;h) $ 及びその2変数版のメロモルフィックな拡張を確立する。
• シフト畳み込みのスペクトル展開を用いて、垂直帯における多項式的評価を導出し、2次モーメントを推定する。
• 理論を用いて、$ \Gamma_0(N) $ におけるモジュラー関数の三重積を評価し、[4]の結果を $ PGL_2(\mathbb{A}) $ の固定の非アーベル表現へと拡張する。
• スケーリング作用素を用いて、レベル$ \ell $ の合同部分群上の自動形式関数を構成し、$ L^2 $ および上界ノルムの性質を保つ。
• 自動形式の持ち上げにおける $ L^2 $ ノルムおよび上界ノルムの一様な評価を用いて、スペクトル和を制御し、主要な部分凸性評価を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心特徴が任意のモジュラー形式に対して、1変数および2変数におけるシフトされたランキン＝セルバーグ畳み込みのメロモルフィックな拡張を確立できるか。
• RQ2 形 $ \sum_{m < x} a(m)\overline{b}(m+h) (m(m+h))^{(1-k)/2} $ のシフトされた和に対する鋭い評価は何か。また、それらは部分凸性とどのように関係するか。
• RQ3 多重ディリクレ級数の理論を、複数のパラメータにおけるシフトを含む形に拡張できるか。また、それらが持つ解析的性質は何か。
• RQ4 シフト畳み込みのスペクトル展開は、$ Q $-側面におけるL関数の部分凸性評価をどのように得るか。
• RQ5 レベル上昇作用素下での自動形式の持ち上げは、$ L^2 $ ノルムおよびスペクトル和を制御するために果たす役割は何か。

主な発見

• シフトされたディリクレ級数 $ D(s;h) $ は $ \mathbb{C} $ 上にメロモルフィックに拡張可能であり、古典的ランキン＝セルバーグ理論をシフト畳み込みへと拡張する。
• 固定の非アーベル表現 $ PGL_2(\mathbb{A}) $ に対する $ \Gamma_0(N) $ におけるモジュラー関数の三重積の平均に対する鋭い評価が得られ、[4]の結果を一般化する。
• この手法により、$ L(\frac{1}{2}, f, \chi) $ に対する部分凸性評価が得られ、指数を $ \frac{1}{2} + \epsilon $ から $ \frac{1}{2} - \delta $（$ \delta > 0 $）に低下させ、凸性を破る。
• 自動形式の持ち上げ $ {}^\ell\phi_{v_T} $ の $ L^2 $ ノルムは、レベル $ \ell $ に依存しない $ \beta T^2 $ で一様に有界であり、スペクトル和の制御が可能になる。
• 不等式 $ \sum_{\frac{1}{2}T \leq |\lambda_i| \leq T} |\langle {}^\ell\phi^k \overline{{}^\ell\phi'^k}, \phi_i \rangle_{Y_{\ell N_0}}|^2 \cdot \ell^{2k} |\lambda_i|^{2-2k} e^{\frac{1}{2}\pi|\lambda_i|} \leq A T^2 $ が確立され、$ A $ は $ N_0 $ および $ k $ のみに依存する。
• この枠組みは、高ランクL関数および任意の完全実体上の自動形式関数へ応用可能な、部分凸性のための新しい体系的アプローチを提供する。