[論文レビュー] Multiple sign-changing solutions to a class of Kirchhoff type problems

Cyril Joël Batkam|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非局所的キルヒホッフ型問題に対して、任意に高いエネルギーを持つ符号変化解の列の存在を示すために、対称的マウンテンパス定理の新しい符号変化版を確立する。標準的な成長および対称性条件の下で、非線形項に付随するエネルギー汎関数が、符号変化でかつエネルギーが無限大に発散する臨界点の列を有することを示しており、半線形問題に対する古典的結果を非局所的キルヒホッフ設定へと拡張する。

ABSTRACT

This paper is concerned with the existence of sign-changing solutions to non local Kirchhoff type problems of the form \begin{equation}\label{s} ag{S} -\Big(a+b\int_Ω| abla u|^2dx\Big)Δu=f(x,u)\, ext{ in }Ω,\quad\quad u=0 ext{ on }\partialΩ, \end{equation} where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N$ ($N=1,2,3$) with smooth boundary, $a>0$, $b>0$, and $f:\overlineΩ imes\mathbb{R} o\mathbb{R}$ is a continuous function. We give a positive answer to a long standing question concerning the existence of more than two sign-changing solutions to \eqref{s}. More precisely, we show in this paper that if $f$ is globally 3-superlinear, subcritical and odd with respect to the second variable, then \eqref{s} possesses an unbounded sequence of sign-changing solutions. Our approach is variational and relies on a new sign-changing version of the symmetric mountain pass theorem established in this paper.

研究の動機と目的

• 符号変化解に特化した非局所問題における新しい臨界点定理の確立。
• 最初の解や有限個の解を超えて、キルヒホッフ型方程式における符号変化解の存在を拡張すること。
• エネルギーの上限がない符号変化解の列の存在を証明すること。
• 標準的手法が失敗する $ b > 0 $ の場合に適用可能な変分的枠組みの提供。
• 非局所楕円型問題における高エネルギー符号変化解に関する文献におけるギャップの解消。

提案手法

• 非局所構造を有する汎関数に適した、符号変化型の新しい対称的マウンテンパス定理の構築。
• エネルギー汎関数 $ \Phi(u) = \frac{a}{2}\|u\|^2 + \frac{b}{4}\|u\|^4 - \int_\Omega F(x,u)\,dx $ を $ H_0^1(\Omega) $ 上で定義し、ここで $ F(x,u) = \int_0^u f(x,s)\,ds $ である。
• 有限次元部分空間への直交射影 $ \Pi_{m_j} $ を用いて、対称部分空間内の臨界点を逐次近似する。
• 有界なパライス＝スモールの列が $ H_0^1(\Omega) $ 内で強く収束することを示すことにより、$(PS)^\star_{\text{nod}}$ コンパクト性条件を検証する。
• $ \Phi $ の対称部分空間 $ Y_m $ への制限に抽象的臨界点定理を適用し、符号変化臨界点の存在を保証する。
• 非自明性および符号変化性を保証するため、アムブロセッティ＝ラビノビッツ条件 $ \mu F(x,u) \leq u f(x,u) $ と $ f $ の奇性を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的キルヒホッフ型問題に対して、任意に高いエネルギーを持つ符号変化解の列の存在を証明できるか？
• RQ2 非局所項 $ \int_\Omega |\nabla u|^2 dx $ を含む汎関数に対して、対称的マウンテンパス定理は拡張可能か？
• RQ3 半線形問題に用いられる変分的アプローチを、$ b > 0 $ を持つキルヒホッフ型問題に適応可能か？
• RQ4 非局所設定において符号変化解を保証する臨界点定理を構築可能か？
• RQ5 $ f $ にどのような条件を課すと、符号変化解のエネルギーが無限大に発散するか？

主な発見

• 本稿では、キルヒホッフ型問題 (S) に対して、符号変化解の列 $ (u_k) $ が存在することを証明し、$ k \to \infty $ のときエネルギー $ \Phi(u_k) \to +\infty $ となることを示した。
• エネルギー汎関数は $(PS)^\star_{\text{nod}}$ 条件を満たしており、パライス＝スモール列が符号変化臨界点に収束することを保証する。
• 非局所問題への応用を想定した新しい符号変化型対称的マウンテンパス定理が構築され、変分的解析のための新規なツールを提供した。
• 有限次元部分空間への直交射影の使用に加え、ソボレフ埋没定理およびコーシー＝シュワルツ不等式を用いて非線形項を制御する。
• $ b = 0 $ の場合の半線形問題に対する古典的結果を非局所的状況へと拡張し、非局所拡散が存在する場合でも高エネルギー符号変化解が存在することを確認した。
• 近似列の正部および負部の $ L^2 $-ノルムに一様な下界が存在するため、符号変化性が極限でも保存される。