[論文レビュー] Multiple zeta values over global function fields

Riad Masri|ArXiv.org|Dec 1, 2005

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、グローバル関数体上の多重ゼータ関数がすべての複素次元へに有理型的拡張可能であることを確立し、$ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ における有理関数として、指定された分母を持つことを証明する。リーマン・ロッホ定理を用いて、関数が特定の線形部分多様体に沿って単純極を持つことを示し、数体における多重ゼータ値の解析的理論を関数体へと拡張する。

ABSTRACT

In this paper we develop the analytic theory of a multiple zeta function in d independent complex variables defined over a global function field. This is the function field analog of the Euler-Zagier multiple zeta function of depth d.

研究の動機と目的

• 数体におけるオイラー＝ツァーゲルの多重ゼータ関数 $ \mathbb{Q} $ に類似した、グローバル関数体上の多重ゼータ関数の解析的理論を構築すること。
• すべての $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $ における $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ の有理型的拡張を確立すること。
• $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ が、指定された分母を持つ $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ における有理関数であることを示すこと。
• 極の位置を、線形部分多様体 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ に位置することを特徴づけること。

提案手法

• 有効な除数の組の非減少次数を持つ和として、多重ゼータ関数 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ を定義する。
• グローバル関数体におけるリーマン・ロッホ定理を用いて、与えられた次数の有効な除数の数を分析する。
• 除数の次数に基づいて和を分割し、種数 $ g $ に応じて有限部と無限部に分ける。
• 幾何級数の和と有理関数の変形を用いて、和の無限部分を扱う。
• リーマン・ロッホの公式 $ \ell(D) = \deg(D) - g + 1 + \ell(K - D) $ を用いて、$ n \geq 2g - 1 $ のとき $ b_n = \#\{ D \geq 0 : \deg(D) = n \} $ を計算する。
• 有限部と無限部を $ u = q^{-s} $、$ v = q^{-w} $ における生成関数に統合し、全関数が指定された位置に極を持つ有理関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グローバル関数体上の多重ゼータ関数は、すべての $ \mathbb{C}^d $ へに有理型的拡張可能か？
• RQ2 グローバル関数体上の多重ゼータ関数は、制御された分母を持つ $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ における有理関数か？
• RQ3 多重ゼータ関数の極は、複素領域のどこに位置するか？
• RQ4 リーマン・ロッホ定理は、関数体の文脈における多重ゼータ関数の解析的拡張をどのように支援するか？

主な発見

• 多重ゼータ関数 $ Z_d(K; s_1, \dots, s_d) $ は、すべての $ (s_1, \dots, s_d) \in \mathbb{C}^d $ へに有理型的拡張可能である。
• 関数はそれぞれの $ q^{-s_1}, \dots, q^{-s_d} $ について有理関数であり、分母は $ K $ の種数と類数によって明示的に決定される。
• 関数は、$ k = 1, \dots, d $ に対して、線形部分多様体 $ s_k + \cdots + s_d = 0, 1, \dots, d-k+1 $ に沿って可能な単純極を持つ。
• 深さ2の場合、関数 $ Z_2(K; s, w) $ は $ q^{-s} $ および $ q^{-w} $ について有理関数であり、$ w=0,1 $、$ s+w=0,1,2 $、および $ s=0,1 $ に極を持つことが示された。
• $ A(u,v) $、$ B(u,v) $、および $ C(u,v) $ の生成関数が構成され、それらが有理関数であることが示された。$ C(u,v) $ には $ u^{2g-1} $ および $ v $ の次数が $ 1+2+\cdots+2g $ まで含まれる。
• $ Q(u,v)Z_2(K;s,w) $ は、$ u $ および $ v $ について有界な次数の多項式であるため、全ゼータ関数の有理関数性および有理型的構造が確認された。