[論文レビュー] Multiplicative Forms and Spencer Operators

Marius Crainic, María Amelia Salazar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、係数をもつリー群コホモロジー上の乗法的微分形式とスペンサー作用素の間の概念的関係を確立し、リー関手を通じてカルタンの古典的 Pfaffian 系とスペンサー作用素が同値であることを示している。主な貢献は、係数が非自明な乗法的微分形式のための新しい可積分性定理であり、スペンサー作用素が乗法的微分形式の無限小的双対をなしており、とくに係数が非自明な場合の長年の可積分性問題を明確にしている。

ABSTRACT

Motivated by our attempt to recast Cartan's work on Lie pseudogroups in a more global and modern language, we are brought back to the question of understanding the linearization of multiplicative forms on groupoids and the corresponding integrability problem. From this point of view, the novelty of this paper is that we study forms with coefficients. However, the main contribution of this paper is conceptual: the finding of the relationship between multiplicative forms and Cartan's work, which provides a completely new approach to integrability theorems for multiplicative forms. Back to Cartan, the multiplicative point of view shows that, modulo Lie's functor, the Cartan Pfaffian system (itself a multiplicative form with coefficients!) is the same thing as the classical Spencer operator.

研究の動機と目的

• リー群コホモロジーを用いた現代的かつグローバルな枠組みで、カルタンのリー擬群に関する業績を再構築すること。
• 非自明な係数をもつ乗法的微分形式の長年の可積分性問題を解決すること。
• リー関手を通じて、乗法的微分形式とスペンサー作用素の間の概念的同等性を確立すること。
• 乗法的 2-形式および接続の理論を非自明な係数へ一般化し、隠れた幾何的構造を明らかにすること。
• 乗法的視点を用いた、可積分性定理の新しい統一的アプローチを提供すること。

提案手法

• 古典的 Pfaffian 系の一般化として、リー群コホモロジー上の係数をもつ乗法的微分形式を、グローバル対象として導入すること。
• 乗法的微分形式の無限小的双対としてのスペンサー作用素を定義し、リー関手を介して導出すること。
• リー関手を用いて乗法的微分形式を線形化し、その結果得られるデータがスペンサー作用素によって曲率が制御される接続であることを示すこと。
• van Est 同型を用いて、群コホモロジー上のグローバルなコサイクルを、特に源単純連結群コホモロジーの文脈におけるリー代数コホモロジーに関連付けること。
• 投影可能なベクトル場の拡張を構成し、ジェット群コホモロジーを用いて、係数 bundle 上に誘導される接続の曲率を分析すること。
• 曲率が消える（平坦性）ことが、乗法的微分形式の曲率形式が消えることと同値であることを示すことにより、可積分性定理を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジェット群コホモロジー上のカルタンの古典的 Pfaffian 系は、係数をもつ乗法的微分形式としてどのように理解できるか？
• RQ2 リー群コホモロジー上に非自明な係数をもつ乗法的微分形式の無限小的双対は何か？
• RQ3 乗法的微分形式の可積分性は、スペンサー作用素の幾何学的性質とどのように関係するか？
• RQ4 接続と曲率は、非自明な係数をもつ乗法的微分形式の可積分性において、どのように機能するか？
• RQ5 古典的スペンサー作用素は、リー関手を介して乗法的微分形式の線形化として自然に回復可能か？

主な発見

• 係数をもつ乗法的微分形式の無限小的データは、係数 bundle 上の接続に類似た対象として作用するスペンサー作用素に符号化されている。
• 乗法的微分形式の可積分性は、係数 bundle 上に誘導される接続の平坦性（曲率形式の消滅）と同値である。
• 古典的スペンサー作用素は、微分同相のジェット群コホモロジー上の標準的カルタン形式の線形化として自然に現れ、カルタンの業績と直接的な関係を確立する。
• 本稿では、スペンサー作用素が正しい無限小的対象として特定されたことにより、非自明な係数をもつ乗法的微分形式の可積分性問題が解決された。
• van Est 同型を用いて、ジェット群コホモロジー上のグローバルなコサイクルを代数コホモロジーに関連付け、源単純連結性の下での可積分性の証明を可能にした。
• 理論は、群コホモロジー上のカルタン接続や、ジャコビ多様体に関連する接触群コホモロジーを含む、さまざまな幾何的構造に適用可能である。