[論文レビュー] Multiplicity of solutions for fractional Hamiltonian systems with Liouville-Weyl fractional derivative

Amado Méndez, César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、臨界点理論と位相的性質を用いて、リウヴィル＝ヴァイル分数階微分を含むクラスの分数階ハミルトニアン系に対して無限個の解の存在を確立する。ポテンシャルの部分的2次成長条件と行列 $ L(t) $ の非退化で正の下界を仮定し、$ L(t) $ の強制性仮定を排除することで、従来の結果を改善する。主な貢献は、$ L(t) \to \infty $ を要件としない部分的2次ケースにおける無限個の解の存在基準の確立である。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of infinitely many solutions for the following fractional Hamiltonian systems: \begin{eqnarray}\label{eq00} _{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t))\\ u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}). onumber \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n^2})$ is a symmetric and positive definite matrix for all $t\in \mathbb{R}$, $W\in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R})$, and $ abla W$ is the gradient of $W$ at $u$. The novelty of this paper is that, assuming there exists $l\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ such that $(L(t)u,u)\geq l(t)|u|^{2}$ for all $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$ and the following conditions on $l$: $\inf_{t\in \mathbb{R}}l(t) >0$ and there exists $r_{0}>0$ such that, for any $M>0$ $$ m(\{t\in (y-r_{0}, y+r_{0})/\;\;l(t)\leq M\}) o 0\;\;\mbox{as}\;\;|y| o \infty. $$ are satisfied and $W$ is of subquadratic growth as $|u| o +\infty$, we show that ( ef{eq00}) possesses infinitely many solutions via the genus properties in the critical theory. Recent results in [Z. Zhang and R. Yuan, Solutions for subquadratic fractional Hamiltonian systems without coercive conditions, Math. Methods Appl. Sci., DOI: 10.1002/mma.3031] are significantly improved.

研究の動機と目的

• リウヴィル＝ヴァイル分数階微分を含む分数階ハミルトニアン系に対して、無限個の解の存在を調査すること。
• 最近の部分的2次ハミルトニアン系に関する結果を拡張し、$ L(t) $ に対する強制性仮定（$ |t| \to \infty $ のとき $ L(t) \to \infty $）を排除すること。
• 臨界点理論における位相的性質を用いて、無限個の非自明な解の存在基準を確立すること。
• エネルギー汎関数の挙動と $ j \to \infty $ のときの臨界値 $ c_j \to 0^- $ の収束を分析すること。

提案手法

• 左および右のリウヴィル＝ヴァイル分数階微分の合成を用いて分数階ハミルトニアン系を定式化する：$ {}_{t}D_{\infty}^{\alpha}({}_{-\infty}D_{t}^{\alpha}u(t)) + L(t)u(t) = \nabla W(t,u(t)) $。
• 分数階ソボレフ空間 $ H^{\alpha}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^N) $ を用い、分数階微分と $ L^2 $-ノルムを含むノルムを備える。
• エネルギー汎関数 $ I(u) $ の無限個の臨界点の存在を証明するために、臨界点理論における位相的理論を適用する。
• $ L(t) $ に以下の条件を課す：$ (L(t)u,u) \geq l(t)|u|^2 $、$ \inf l(t) > 0 $、かつ $ l(t) $ が無限遠で測度が消失する性質を満たす。
• $ W $ に対して部分的2次性を仮定する：$ |\nabla W(t,u)| = o(|u|) $（$ |u| \to 0 $ のとき）、かつ $ W(t,u) \geq a(t)|u|^\theta $（$ \theta < 2 $、$ b \in L^{2/(2-\theta)}(\mathbb{R}) $）。
• コンパクト埋め込みと弱収束の議論を用いて、$ \beta_j = \sup_{\|u\|_{X^\alpha}=1, u \in Z_j} \|u\|_{L^2} \to 0 $（$ j \to \infty $）を示し、これが $ c_j \to 0^- $ の証明に不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルの部分的2次成長の下で、リウヴィル＝ヴァイル微分を含む分数階ハミルトニアン系に対して、無限個の解の存在を確立できるか？
• RQ2 従来の研究で要請されていた $ L(t) $ に対する強制性仮定を、排除または著しく弱めることができるか？
• RQ3 $ L(t) $ および $ W(t,u) $ にどのような条件を課すと、エネルギー汎関数の臨界値 $ c_j $ が $ j \to \infty $ のとき $ c_j \to 0^- $ を満たすか？
• RQ4 非周期的かつ非自己同型係数を有する分数階ハミルトニアン系に対して、どのようにして位相的理論を効果的に応用できるか？

主な発見

• ポテンシャルの部分的2次成長条件と $ L(t) $ の緩和された条件（$ \inf l(t) > 0 $ かつ $ l(t) $ が無限遠で測度が消失する性質を満たす）の下で、系は無限個の非自明な解を有する。
• エネルギー汎関数の臨界値 $ c_j $ は $ j \to \infty $ のとき $ c_j \to 0^- $ を満たし、解がエネルギーの点で0に集積していることを示している。
• ホルダーの不等式と $ b(t) $ の $ L^{2/(2-\theta)} $ での有界性を用いて、エネルギー汎関数 $ I(u) $ の強制性を確立し、$ \|u\|_{X^\alpha} \to \infty $ のとき $ I(u) \to \infty $ を保証する。
• 証明は、位相的次元 $ j $ を持つ対称集合 $ S_j^\delta $ の構成と、奇関数ホメオモルフィズムを用いた $ \gamma(I^{-\epsilon}) \geq j $ の導出に依拠しており、これにより無限個の臨界点が示される。
• 張と袁の先行研究を改善し、$ l(t) \to \infty $ を要件としないことにより、非強制的だが正定値の $ L(t) $ を許容する。
• 無限遠で測度が消失する性質 $ m(\{t \in (y-r_0,y+r_0) : l(t) \leq M\}) \to 0 $（$ |y| \to \infty $ のとき）は、変分的枠組みにおけるコンパクト性を確保するための必要な減少性を保証する。