[論文レビュー] Multiplier ideal sheaves and the Kähler-Ricci flow on toric Fano manifolds with large symmetry

Yuji Sano|ArXiv.org|Nov 10, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、大規模な対称性を持つトーリックFano多様体におけるケーラー・リッチフローから生じる乗数理想層の台を、ケーラー・リッチソリトンのデータを用いて計算する。特定の多様体、例えば射影空間のブローモーと積多様体について、KRF-MIS（ケーラー・リッチフロー乗数理想層）の台は、特異的除因子とその複素特異的指数に依存し、指数γに依存する明示的な閾値を持つことが示される。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to calculate the support of the multiplier ideal sheaves derived from the Kähler-Ricci flow on certain toric Fano manifolds with large symmetry. The early idea of this paper has already been in Appendix of \cite{futaki-sano0711}.

研究の動機と目的

• 大規模な対称性を持つトーリックFano多様体におけるケーラー・リッチフローから導かれる乗数理想層の台を計算すること。
• ケーラー・リッチフローの文脈において、乗数理想層を用いたケーラー・アインシュタイン計量への障害の理解を拡張すること。
• Tian-Zhuのケーラー・リッチフロー収束結果を、ケーラー・リッチソリトンを有するトーリックFano多様体に適用すること。
• 特に射影空間のブローモーと積多様体を含む具体的な例について、KRF-MIS（ケーラー・リッチフロー乗数理想層）の明確な構造を特定すること。
• 複素特異的指数γと乗数理想層の台の幾何的性質との関係を明らかにすること。

提案手法

• Tian-Zhuの結果に従い、大規模な対称性を持つトーリックFano多様体ではケーラー・リッチフローがケーラー・リッチソリトンに収束することを用いる。
• Rubinsteinの結果を応用し、ケーラー・リッチフローが、対称性群の複素化に下位不変な乗数理想層を誘導することを用いる。
• Demailly-Kollárの乗数理想層の定式化を用い、ψが擬・強調函数であるとき、e^{-ψ}に対する可微分関数の可積分性によって定義される乗数理想層を用いる。
• ケーラー・リッチソリトンベクトルに関連する双対多面体における頂点のスターオブジェクトの内部を用いて、KRF-MISの台を特定する。
• Fano多面体の幾何とケーラー・リッチソリトンデータを用いて、除因子の複素特異的指数を計算する。
• 補題3.3を適用し、KRF-MISの台を、KRS関連頂点のスターオブジェクトの内部にある頂点を持つ除因子の和集合として特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模な対称性を持つトーリックFano多様体におけるケーラー・リッチフローから生成される乗数理想層の台は何か？
• RQ2 複素特異的指数γはKRF-MISの構造にどのように影響するか？
• RQ3 射影空間のブローモーと積多様体において、どの除因子がKRF-MISの台に寄与するか？
• RQ4 ケーラー・リッチソリトンデータを用いて、KRF-MISの非自明性の正確な閾値γを計算できるか？
• RQ5 多様体の対称性は、KRF-MISの不変性と構造にどのように影響するか？

主な発見

• 多様体 $\mathcal{E}_3 = (\mathbb{CP}^2\sharp 2\overline{\mathbb{CP}^2})\times\mathbb{CP}^1$ について、$\gamma \in (\frac{1}{2}, 1)$ のときKRF-MISの台は $E_0 \cup E_1 \cup E_2$、$\gamma \in (\frac{1}{3}, \frac{1}{2})$ のとき $E_0$ である。ここで $E_0$ はブローモーの特異的除因子、$E_1, E_2$ は特定の曲線の正規化像である。
• 除因子 $E_0$ の複素特異的指数は $\frac{1}{3}$、$E_1$ と $E_2$ のそれは $\frac{1}{2}$ であり、これらが台への含め込みの閾値を決定する。
• 射影空間 $\mathbb{CP}^1$ 上の $(\mathbb{CP}^2\sharp 3\overline{\mathbb{CP}^2})$-バンドル $\mathcal{F}_2$ について、$\gamma \in (\frac{1}{2}, 1)$ のときKRF-MISの台は $\tilde{\tilde{\tilde{E}}}_0$ である。ここで $\tilde{\tilde{\tilde{E}}}_0$ は複数回のブローモー後の特異的除因子の正規化像である。
• 除因子 $\tilde{\tilde{\tilde{E}}}_0$ の複素特異的指数は $\frac{1}{2}$ であり、$\gamma > \frac{1}{2}$ の閾値と整合的である。
• 多様体 $X_k$（$\mathbb{CP}^n$ を $\mathbb{CP}^k$ に沿ってブローモーしたもの、$0 \leq k \leq n-2$）について、$\gamma \in (\frac{1}{k+2}, 1)$ のときKRF-MISの台は特異的除因子そのものである。ここで $\frac{1}{k+2}$ は特異的除因子の複素特異的指数に一致する。
• すべてのケースにおいて、KRF-MISの台はケーラー・リッチソリトンベクトルと双対多面体の交点によって決定され、台は対応する多面体の頂点のスターオブジェクトの内部にある頂点を持つ除因子の和集合である。