[論文レビュー] Multiscale Finite Element methods for advection-dominated problems in perforated domains

Claude Le Bris, Frédéric Legoll+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 32被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、穴あき領域における広義の対流優勢な対流拡散問題に対して、境界にディリクレ条件またはノイマン条件が与えられた場合の多スケール有限要素法を発展および分析する。弱連続性を持つクルーゼィエ＝ラヴィエル型の多スケール基底関数を導入し、バブル関数と安定化形式を組み込み、適切な仮定の下で収束速度 $Θ(𝗅(\sqrt{\u0005𝗅/H} + H + \sqrt{\u0005𝗅}))$ を証明し、高対流領域でも安定性を示す。

ABSTRACT

We consider an advection-diffusion equation that is advection-dominated and posed on a perforated domain. On the boundary of the perforations, we set either homogeneous Dirichlet or homogeneous Neumann conditions. The purpose of this work is to investigate the behavior of several variants of Multiscale Finite Element type methods, all of them based upon local functions satisfying weak continuity conditions in the Crouzeix-Raviart sense on the boundary of mesh elements. In the spirit of our previous works [Le Bris, Legoll and Lozinski, CAM 2013 and MMS 2014] introducing such multiscale basis functions, and of [Le Bris, Legoll and Madiot, M2AN 2017] assessing their interest for advection-diffusion problems, we present, study and compare various options in terms of choice of basis elements, adjunction of bubble functions and stabilized formulations.

研究の動機と目的

• 古典的FEMが不安定性のため失敗するため、穴あき領域における対流優勢な対流拡散問題に対して安定な数値解法を開発すること。
• 穴あき境界における境界条件（ディリクレ対比ノイマン）が流れの挙動および数値的安定性に与える影響を分析すること。
• 多スケール有限要素法（MsFEM）のさまざまなバリエーション、特に基底関数の選択、バブル関数、安定化形式の性能を調査すること。
• 高対流、微小スケールの穴あき領域において、クルーゼィエ＝ラヴィエル型局所基底関数を用いたMsFEMの収束推定を確立すること。
• 2つの境界条件領域の均質化極限を明確にし、ディリクレ条件では解が消滅するが、ノイマン条件では対流が極限で保存されることを示すこと。

提案手法

• 粗メッシュ要素上での局所問題を用いて多スケール有限要素基底関数を構築し、要素境界でクルーゼィエ＝ラヴィエルの意味での弱連続性を満たす。
• 穴あき境界で同次ディリクレまたはノイマン条件を課える局所問題を定義し、異なる物理的挙動をモデル化する。
• 勾配が急な領域における近似性を向上させるために、バブル関数を多スケール空間に拡張する。
• ストリームライン拡散と一貫性のある安定化項を含む双線形形式 $c_H$ を用いた安定化変分形式を適用する。
• 境界を越えて連続性を保証するため、局所問題にス add-pair 形式を用い、安定性と適切に定義された問題を確保する。
• 粗メッシュ $\mathcal{T}_H$ を用い、ソース項を伴う同次問題の事前計算された局所解を用いて多スケール空間を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき領域におけるディリクレ対比ノイマン境界条件が、対流優勢問題の均質化極限および数値的安定性にどのように影響するか？
• RQ2 クルーゼィエ＝ラヴィエル基底関数を用いたMsFEMの収束挙動は、対流優勢かつ穴あき領域においてどのようになるか？
• RQ3 バブル関数と安定化の追加が、高対流問題におけるMsFEMの精度とロバスト性を向上させられるか？
• RQ4 対流場のスケーリング $\widehat{b}^\varepsilon = \frac{1}{\varepsilon}b(\cdot/\varepsilon)$ の選択が収束速度と解構造に与える影響は？
• RQ5 混合境界条件を伴う局所MsFEM問題の適切に定義された問題の理論的根拠は何か？

主な発見

• 多スケール有限要素解について、$H^1$-半ノルムで収束速度 $\mathcal{O}(\varepsilon(\sqrt{\varepsilon/H} + H + \sqrt{\varepsilon}))$ を達成する。
• 穴あき領域におけるディリクレ問題では、解 $u^\varepsilon$ は $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ に減少し、スケーリングされた極限は対流を含まないため、対流の強い減衰が示される。
• ノイマン問題では、解は1次オーダーのままであり、非自明な均質化極限に収束し、対流場が保存されるため、主な流れ構造が維持される。
• クルーゼィエ＝ラヴィエル基底関数の使用により、高対流領域でも弱連続性と安定性が保証される。
• バブル関数と安定化の導入により、境界層および穴あき領域付近での近似品質が顕著に向上する。
• 局所ス add-pair 形式による基底関数の問題は適切に定義されており、局所バブル関数 $\Phi^{\varepsilon,E}_0$ を用いた構成により、inf-sup 条件が満たされている。