[論文レビュー] Multiscale model reduction for shale gas transport in fractured media

I. Yücel Akkutlu, Yalchin Efendiev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の破壊方向と三角形の微細グリッドを有する破壊的媒体における非線形頁岩ガス移動をシミュレートするための一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）を提示する。スケーリングされたマトリックスモデルと組み合わせることで、自由度を効率的に削減しながらも精度を維持し、2次元数値実験において顕著な誤差低減と計算コストの削減を示す。

ABSTRACT

In this paper, we develop a multiscale model reduction technique that describes shale gas transport in fractured media. Due to the pore-scale heterogeneities and processes, we use upscaled models to describe the matrix. We follow our previous work \cite{aes14}, where we derived an upscaled model in the form of generalized nonlinear diffusion model to describe the effects of kerogen. To model the interaction between the matrix and the fractures, we use Generalized Multiscale Finite Element Method. In this approach, the matrix and the fracture interaction is modeled via local multiscale basis functions. We developed the GMsFEM and applied for linear flows with horizontal or vertical fracture orientations on a Cartesian fine grid. In this paper, we consider arbitrary fracture orientations and use triangular fine grid and developed GMsFEM for nonlinear flows. Moreover, we develop online basis function strategies to adaptively improve the convergence. The number of multiscale basis functions in each coarse region represents the degrees of freedom needed to achieve a certain error threshold. Our approach is adaptive in a sense that the multiscale basis functions can be added in the regions of interest. Numerical results for two-dimensional problem are presented to demonstrate the efficiency of proposed approach.

研究の動機と目的

• 複雑なミクロスケール不均一性を有する破壊的媒体における頁岩ガス移動のための多スケールモデル低減技術を開発すること。
• 従来のGMsFEMフレームワークを拡張し、非線形流れと任意の破壊方向を扱えるように、三角形の微細グリッドを用いること。
• 高い誤差領域において、適応的に基底関数を豊かにする戦略を導入し、低次元モデルを強化すること。
• キロゲンおよび表面拡散を考慮したスケーリングされた非線形マトリックスモデルと、多スケール基底関数を介して破壊ネットワークを結合すること。
• 細粒スケール効果を保持しつつ、自由度を大幅に削減した高精度で効率的な大規模シミュレーションを達成すること。

提案手法

• 粗グリッド領域におけるマトリックス-破壊相互作用を捉える多スケール基底関数を構築するために、一般化された多スケール有限要素法（GMsFEM）を用いる。
• 破壊を解像し、スナップショット空間およびオフライン空間を計算するために、三角形の微細グリッド上に離散的破壊モデル（DFM）を適用する。
• 局所的な多スケール基底関数の更新を通じて非線形モデル低減を実施し、マトリックス内での非線形拡散および吸着プロセスを扱う。
• 誤差指標を用いて誤差を適応的に評価し、残差に基づく誤差指標に基づいて、高い残差誤差領域で多スケール基底関数を豊かにするオンライン基底関数を導入する。
• 代表的体積要素（RVE）における局所問題から計算されたオフライン基底関数を用い、Nステップごとにオンライン豊かさをトリガーする。
• 収束の指標として重み付きL²およびH¹誤差を用い、残差に基づく誤差指標に基づいて適応的処理を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GMsFEMは、頁岩ガス移動の非線形流れと三角形の微細グリッド上での任意の破壊方向を扱うように拡張可能か？
• RQ2 高対比および不均一な媒体における多スケールシミュレーションの収束を改善するため、オンライン基底関数の豊かさ戦略はどの程度有効か？
• RQ3 固定されたオフライン基底関数と比較して、適応的オンライン豊かさは自由度をどの程度削減しつつ精度を維持できるか？
• RQ4 2次元シミュレーションにおいて、オフラインおよびオンライン基底関数の数が誤差および収束速度に与える影響は何か？
• RQ5 本手法は、クヌーゼン拡散や表面拡散などの複雑なミクロスケールプロセスを有する破壊的頁岩において、小スケール効果を正確に捉えることができるか？

主な発見

• 誤差低減が顕著に達成された：L²誤差は1つのオフライン基底関数では17.136から、4つのオフラインおよびオンライン基底関数では0.105に低下し、H¹誤差は68.989から0.057に低下した。
• 4つのオフラインおよびオンライン基底関数を用いることで、726の自由度でL²誤差は0.105、H¹誤差は0.057にまで低下し、計算コストを低く抑えつつ高精度を達成した。
• 30ステップごとにオンライン豊かさを実施することで、固定されたオフライン基底関数よりも誤差低減が顕著に効果的であり、特に局所誤差が高い領域で顕著であった。
• オンライン基底関数選択における空間的適応性を導入することで、さらに誤差が低減され、737の自由度でL²誤差は0.098、H¹誤差は0.039に低下した。
• 収束は速やかであった：30ステップごとにオンライン基底関数を追加することで、10〜20ステップのうちに誤差が著しく低減され、精度の急速な向上が確認された。
• 本手法は、異なる破壊方向および非線形プロセスに対しても精度を維持し、複雑で不均一な頁岩系において高いロバスト性を示した。