[論文レビュー] Multitensors as monads on categories of enriched graphs

Mark Weber|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、圏 $V$ 上のマルチテンソルと、$V$-豊密化グラフの圏 $\Gamma V$ 上のモノイドの間の包括的枠組みを確立し、分配的マルチテンソルが構成 $\Gamma E$ を通じてモノイドを誘導する仕組みを体系的に示している。主な貢献は、マルチテンソルとモノイドの間の2-ファンクター的対応であり、グレイとクランスのテンソル積といった高次圏的構造の統一的取り扱いを可能にするとともに、おもしろいテンソル積の構成を一般化している。

ABSTRACT

In this paper we unify previous developments on higher operads and multitensors into a single framework in which the interplay between multitensors on a category V, and monads on the category of graphs enriched in V, is taken as fundamental. The material presented here is the conceptual background for subsequent work in which the Gray tensor product of 2-categories and the Crans tensor product of Gray categories are exhibited as existing within our framework, and in an explicit construction of the funny tensor product of categories is generalised to a large class of Batanin operads.

研究の動機と目的

• 豊密化グラフ上のマルチテンソルとモノイドの理論を統一すること、特に高次圏論の文脈において。
• グレイやクランスの積のような高次圏におけるテンソル積を理解するための概念的基盤を提供すること。
• バタニンのオペラドの広いクラスに対して、モノイド的枠組みを用いておもしろいテンソル積の構成を一般化すること。
• マルチテンソルから生じるモノイドを特徴づけ、マルチテンソルとモノイド構造の間の2-ファンクター的対応を確立すること。
• 分配的法則の古典的理論をマルチテンソルとモノイドの設定に拡張し、厳密 $n$-圏モノイドの新たな構成を可能にすること。

提案手法

• 本稿は、圏 $V$ 上の分配的マルチテンソル $E$ に対して、$V$-豊密化グラフの圏 $\mathcal{G}V$ 上のモノイド $\Gamma E$ を割り当てる2-ファンクター $\Gamma$ を構成する。
• 分配的であるとき、モノイド $\Gamma E$ がカルテジアンでかつ局所的に右随伴であることを証明し、$E$ の構造的性質と $\Gamma E$ の性質との関係を結ぶ。
• $E$ が余基底とフィルター付き帰納極限を保存することを用いて、$\Gamma E$ が適切に振る舞い、神経定理を満たすことを保証する。
• マルチテンソルとモノイドの間の2-ファンクター的対応を確立し、$\Gamma$ が完全に忠実であり、モノイドの形式的理論と整合することを示す。
• モノイドとマルチテンソルの間の一般化された分配的法則の概念を導入し、ベックの古典的理論をこの豊密化設定に拡張する。
• 反復的豊密化による厳密 $n$-圏モノイドの構成にこの枠組みを適用し、帰納的公式 $\Theta_{n+1} = \Delta \wr \Theta_n$ を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、圏 $V$ 上のマルチテンソルを、$V$-豊密化グラフの圏 $\mathcal{G}V$ 上のモノイドと体系的に関係付けることができるか？
• RQ2 マルチテンソル $E$ にどのような構造的条件を課えると、$\mathcal{G}V$ 上に誘導されるモノイド $\Gamma E$ がカルテジアン性や局所的右随伴性といった望ましい性質を備えるようになるか？
• RQ3 モノイドとマルチテンソルが互いに分配的であるとは、どのような意味でそう言えるのか？ そしてこれは、ベックの分配的法則理論をどのように一般化するか？
• RQ4 この枠組みを用いて、カテゴリの「おもしろいテンソル積」の構成を、バタニンのオペラドの広いクラスへどのように一般化できるか？
• RQ5 このマルチテンソル-モノイド対応を通じて、厳密 $n$-圏のモノイドを再構成できるか？ そして、既知の帰納的公式を回復できるか？

主な発見

• 構成 $\Gamma E$ は、$V$ 上の分配的マルチテンソル $E$ に対して、その代数が正確に $E$-圏となるような、$\mathcal{G}V$ 上のモノイド $\Gamma E$ を割り当てる。
• $E$ が分配的マルチテンソルであれば、モノイド $\Gamma E$ はカルテジアンである。$E$ がフィルター付き帰納極限を保存するならば、$\Gamma E$ は局所的に右随伴である。
• $E \mapsto \Gamma E$ の割り当ては完全に忠実であり、2-ファンクター的であるため、マルチテンソルとモノイドの間の概念的ブリッジを築く。
• この枠組みは、グレイとクランスのテンソル積を、この構成の特別な場合として回復し、高次圏論におけるそれらの統一的取り扱いを可能にする。
• この構成は、おもしろいテンソル積を、バタニンのオペラドの広いクラスへ一般化し、このような構造の体系的なモノイド的基盤を提供する。
• 本稿は、マルチテンソル-モノイド枠組みにおける wreath 積構成を用いて、厳密 $n$-圏モノイドの帰納的公式 $\Theta_{n+1} = \Delta \wr \Theta_n$ を回復する。