[論文レビュー] Multitime maximum principle approach of minimal submanifolds and harmonic maps

Constantin Udrişte|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、多時刻偏微分方程式に従う最適制御問題として、最小部分多様体および調和写像問題を解くための多時刻最大原理フレームワークを導入する。これらの微分幾何的変分問題を多時刻最適制御系として定式化することにより、著者らは最小部分多様体および調和写像が多時刻最大原理のもとで最適解として現れることを証明し、古典的微分幾何学的問題に制御理論的視点をもたらす、画期的な新しい枠組みを提示する。

ABSTRACT

Some optimization problems coming from the Differential Geometry, as for example, the minimal submanifolds problem and the harmonic maps problem are solved here via interior solutions of appropriate multitime optimal control problems. Section 1 underlines some science domains where appear multitime optimal control problems. Section 2 (Section 3) recalls the multitime maximum principle for optimal control problems with multiple (curvilinear) integral cost functionals and $m$-flow type constraint evolution. Section 4 shows that there exists a multitime maximum principle approach of multitime variational calculus. Section 5 (Section 6) proves that the minimal submanifolds (harmonic maps) are optimal solutions of multitime evolution PDEs in an appropriate multitime optimal control problem. Section 7 uses the multitime maximum principle to show that of all solids having a given surface area, the sphere is the one having the greatest volume. Section 8 studies the minimal area of a multitime linear flow as optimal control problem. Section 9 contains commentaries.

研究の動機と目的

• 古典的微分幾何学的問題—特に最小部分多様体および調和写像—を多時刻最適制御問題として再定式化すること。
• 多時刻最大原理を用いた微分幾何学における変分問題の理論的基盤を確立すること。
• 最小部分多様体および調和写像問題の解が、多時刻PDE制約付き最適制御から導かれる必要最適性条件を満たすことを示すこと。
• ポントリャーギンの最大原理を複数の独立した進化パラメータを持つ多時刻系へ拡張すること。
• 多時刻ダイナミクスを介して、幾何的変分問題と最適制御理論を統合する新しい解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 多様な時間領域 Ω₀ₜ₀ 上で、複数の積分型コスト関数およびmフロー型PDE制約を持つ多時刻最適制御問題を定式化する。
• コストレートベクトル p および完全可積分性条件を満たすベクトル場 Xⁱᵅ を用いたハミルトニアン H(t, x, u, p) = L + pᵢᵅXⁱᵅ を用いて多時刻最大原理を適用する。
• 必要最適性条件を導出する：コストテートダイナミクス ∂pᵢᵅ/∂tᵅ = -∂H/∂xⁱ、状態ダイナミクス ∂xⁱ/∂tᵅ = ∂H/∂pᵢᵅ、境界における横断的条件、制御最適性 Hᵤₐ = 0。
• 多時刻グローバル最大性定理を用いる：ハミルトニアンが制御変数に関して凹であれば、解はグローバルに最適である。
• 具体的な幾何的問題にフレームワークを適用する。例えば、等周問題（表面積が固定のとき球が体積を最大化する）および多時刻線形フローの最小面積。
• リーマン幾何学と制御ダイナミクスを組み合わせたハミルトニアン1形式を用いて、接バンドル上のm次元表面の面積を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小部分多様体は、多時刻最適制御問題の最適解として特徴付けられるか？
• RQ2 調和写像は、多時刻PDE制約付き最適制御系の解として導出可能か？
• RQ3 多時刻最大原理は、複数の独立した時間パラメータを持つ系に、古典的最適制御をどのように拡張するか？
• RQ4 完全可積分性条件は、多時刻状態軌道の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 等周不等式（表面積が固定のとき球が体積を最大化する）は、多時刻最適制御を用いて導出可能か？

主な発見

• 最小部分多様体がmフロー型PDEに従う多時刻最適制御問題の最適解として、多時刻最大原理を満たすことが示された。
• 調和写像が適切な多時刻最適制御問題（mフロー制約付き）の最適解として証明された。
• 球が表面積が固定のすべての立体の中で体積を最大化する最適解として、多時刻最大原理を用いて同定された。
• 多時刻線形フローの最小面積が、有界な制御を持つ多時刻最適制御問題の解として特徴付けられた。
• 接バンドル上での面積最大化問題における最適制御は、切り替え関数 Mₐ(t) に従って ±1 を切り替えるバン・バン制御であることが示された。
• 面積最大化問題におけるハミルトニアン1形式は制御変数に関して線形であり、制御が有界である場合、不連続な最適制御（バン・バン制御）が得られる。