[論文レビュー] Multivariable operator-valued Nevanlinna-Pick interpolation: a survey

Joseph A. Ball, S. ter Horst|ArXiv.org|Aug 18, 2008

Holomorphic and Operator Theory参考文献 50被引用数 7

ひとこと要約

本調査は、$W^*$-対応に関するMuhly-Solelのハードィ代数理論を焦点として、多変数作用素値ネヴァンリンナ＝ピック補間に関する包括的な概説を提供する。抽象的な点評価を用いてテンソル積型関数計算を定義するNeumann-Pick定理を確立し、さらに作用素引数関数計算を導く第二の点評価を発展させ、多変数作用素論におけるさまざまなシュールクラスおよび補間枠組みを統一する。

ABSTRACT

The theory of Nevanlinna-Pick and Carathéodory-Fejér interpolation for matrix- and operator-valued Schur class functions on the unit disk is now well established. Recent work has produced extensions of the theory to a variety of multivariable settings, including the ball and the polydisk (both commutative and noncommutative versions), as well as a time-varying analogue. Largely independent of this is the recent Nevanlinna-Pick interpolation theorem by P.S. Muhly and B. Solel for an abstract Hardy algebra set in the context of a Fock space built from a $W^*$-correspondence E over a $W^{*}$-algebra $\cA$ and a *-representation $σ$ of $\cA$. In this review we provide an exposition of the Muhly-Solel interpolation theory accessible to operator theorists, and explain more fully the connections with the already existing interpolation literature. The abstract point evaluation first introduced by Muhly-Solel leads to a tensor-product type functional calculus in the main examples. A second kind of point-evaluation for the $W^*$-correspondence Hardy algebra, also introduced by Muhly and Solel, is here further investigated, and a Nevanlinna-Pick theorem in this setting is proved. It turns out that, when specified for examples, this alternative point-evaluation leads to an operator-argument functional calculus and corresponding Nevanlinna-Pick interpolation. We also discuss briefly several Nevanlinna-Pick interpolation results for Schur classes that do not fit into the Muhly-Solel $W^*$-correspondence formalism.

研究の動機と目的

• W^*対応に関するハードィ代数に関連するMuhly-Solelのネヴァンリンナ＝ピック補間理論の理解しやすい解説を提供すること。
• 抽象的なMuhly-Solel枠組みと可換および非可換設定における既存の補間理論との関係を明確にすること。
• W^*対応設定における第二の種類の点評価を調査・形式化し、作用素引数関数計算に至らしめること。
• Muhly-Solelの基準—核または写像の完全正値性に基づくもの—が古典的補間結果を一般化し、さまざまなシュールクラス枠組みを統一することを示すこと。
• Muhly-Solel形式的体系の限界を特定し、より広いクラスへの拡張を検討すること、特に高ランクグラフ、積系、およびテスト関数に基づくシュールクラスを含む。

提案手法

• Muhly-Solelが提示する抽象的点評価を用いて、$W^*$-対応に関するハードィ代数上でのテンソル積型関数計算を定義する。
• W^*対応に関するハードィ代数に対する第二の点評価を導入・分析し、作用素引数関数計算を可能にする。
• 完全正値核および完全正値写像の理論を応用し、$W^*$-対応設定におけるネヴァンリンナ＝ピック補間基準を導出する。
• Muhly-Solel枠組みと古典的LTOA/RTOA補間理論およびシュール＝アグラーレ理論を比較し、特定の条件下で同値であることを示す。
• 再生核ヒルベルト空間および収縮的マルチプライヤーの役割を、さまざまな定義域におけるシュールクラスの特徴づけに考察する。
• テスト関数族および半群圏の畳み込みを用いた一般化を検討し、単一の形式的体系で多様な補間設定を統一することを目的とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Muhly-Solelの$W^*$-対応枠組みは、多変数作用素論における古典的ネヴァンリンナ＝ピック補間をどのように一般化するか？
• RQ2 W^*対応設定で導入された第二の点評価の役割と構造は何か？ そして、それが作用素引数関数計算にどのように導くのか？
• RQ3 核または写像の完全正値性が、さまざまなシュールクラス枠組みにおけるネヴァンリンナ＝ピック補間を統一する基準として果たす方法は何か？
• RQ4 Muhly-Solelの結果は、既存のLTOA/RTOAおよびシュール＝アグラーレクラス補間理論とどのように関係し、どのように異なるか？
• RQ5 Muhly-Solel形式的体系に高ランクグラフ、一般の半群上の積系、およびテスト関数に基づくシュールクラスを含めるために、どのような拡張が必要か？

主な発見

• Muhly-Solelのネヴァンリンナ＝ピック定理は、核または写像の完全正値性を用いて定式化され、$W^*$-対応設定における作用素値補間の統一的基準を提供する。
• 第二の点評価が導入され、作用素引数関数計算に至らしめ、標準的なテンソル積型とは異なる新しい種類のネヴァンリンナ＝ピック補間問題を可能にする。
• リース＝ダンフォード補間問題—与えられた作用素$Z, W$に対して$ s(Z) = W $を満たすシュールクラス関数$s$を見つけること—は、既存のLTOA理論により解決され、コーエン＝レーウコウィッツとは別個の解が右半平面設定で得られる。
• Muhly-Solel基準が特定の状況でピック行列の正値性と同値であることが示され、抽象的な作用素論的条件と古典的補間行列の間の関係が確立される。
• 完全ピック核フレームワークを通じて、多変数ドメイン（可換および非可換）のポリディスク、ドリュリ＝アルブソン空間、時変システムのシュールクラスが理論的に統一される。
• 高ランクグラフ、半群上の積系、テスト関数に基づくシュールクラスへの拡張は、点評価および補間基準のさらなる開発を要する未解決の問題として特定される。