[論文レビュー] Multivariate regular variation of heavy-tailed Markov chains

Johan Segers|ArXiv.org|Jan 15, 2007

Stochastic processes and statistical mechanicsMathematics参考文献 18被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、前向きおよび後向き極端値の連合漸近的挙動を捉えるために、前後往復型尾鎖フレームワークを導入することで、重尾マルコフ連鎖の多変量正則変動を確立する。滑らかな正則変動およびスケーリング条件が遷移機構に課せられる場合、尾の切り替えが正の極端値と負の極端値の間で発生しても、プロセスの有限次元分布は多変量正則に変動することを示す。

ABSTRACT

The upper extremes of a Markov chain with regulary varying stationary marginal distribution are known to exhibit under general conditions a multiplicative random walk structure called the tail chain. More generally, if the Markov chain is allowed to switch from positive to negative extremes or vice versa, the distribution of the tail chain increment may depend on the sign of the tail chain on the previous step. But even then, the forward and backward tail chain mutually determine each other through a kind of adjoint relation. As a consequence, the finite-dimensional distributions of the Markov chain are multivariate regularly varying in a way determined by the back-and-forth tail chain. An application of the theory yields the asymptotic distribution of the past and the future of the solution to a stochastic difference equation conditionally on the present value being large in absolute value.

研究の動機と目的

• 絶対値が大きい現在値を条件とした、重尾マルコフ連鎖の有限次元分布の弱極限を特定すること。
• 極端値が上尾と下尾の間で切り替わるような状況において、標準的な i.i.d. 乗法的ランダムウォークモデルが無効となる場合に、古典的尾鎖表現を拡張すること。
• 定常マルコフ連鎖における前向きおよび後向き尾鎖の正式な随伴関係を確立し、両者の連合漸近的記述を可能にすること。
• 一般条件下で、プロセス全体が多変量正則に変動することを示し、依存構造が前後往復尾鎖によって完全に決定されることを示すこと。
• 理論を、特に重尾のノイズを伴う確率的再帰方程式の定常解に応用すること。

提案手法

• マージナル分布の正則変動を仮定し、$x \to \infty$ のとき $|X_0| > x$ を条件とした、スケーリングされたプロセス $(X_0, X_1, \ldots, X_t)$ の弱極限として前向き尾鎖を定義する。
• 直前の状態の符号に依存する増分分布を導入することで、非 i.i.d. 尾鎖をもたらす一般化された尾切り替え機構を提案する。
• 二変量変換を介して、前向きおよび後向き尾鎖の間の随伴関係を確立し、両者の相互決定を可能にする。
• 前後往復尾鎖を用いて、前向き尾鎖が単純なランダムウォークでない場合でさえ、プロセス全体の連合多変量正則変動を特徴付ける。
• 確率的再帰方程式 $X_t = \Psi(X_{t-1}, \varepsilon_t)$ の再帰関数 $\Psi$ について、前向きおよび後向き尾鎖の存在を保証する条件を導出する。
• 例として、確率的差分方程式や潜在状態を伴う最大自己回帰過程を適用し、経路依存性およびレジームスイッチングが尾挙動に与える影響を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 極端値が正の尾と負の尾の間で切り替わる場合、重尾マルコフ連鎖の漸近的挙動はどのように特徴付けられるか？
• RQ2 再帰的機構 $\Psi$ に課すべき条件は何か？ これにより、直前の状態の符号に依存する増分分布を持つ場合でも、well-defined な前向き尾鎖が保証される。
• RQ3 定常マルコフ連鎖において、前向きおよび後向き尾鎖はどのように関連しているか？ そして、この関係は随伴構造として形式化可能か？
• RQ4 プロセスの有限次元分布が多変量正則に変動するための条件は何か？ そして、これはどのように前後往復尾鎖によって決定されるか？
• RQ5 この理論は、特に重尾のノイズと時変動ダイナミクスを伴う場合の、確率的差分方程式の解の連合尾挙動をモデル化するために応用可能か？

主な発見

• 重尾マルコフ連鎖の前向き尾鎖は、直前の状態の符号に依存する増分を持つ乗法的プロセスに弱収束し、古典的な i.i.d. ランダムウォーク構造を一般化する。
• 定常状態では、前向きおよび後向き尾鎖は随伴関係によって結びつけられ、前後往復尾鎖を形成し、プロセスの多変量正則変動を完全に特徴付ける。
• マルコフ連鎖の有限次元分布は多変量正則に変動し、その依存構造は前向きおよび後向き尾鎖の連合によって決定される。
• 正則変動するマージナル分布を伴う確率的差分方程式の定常解において、大きな現在値を条件とした過去および未来の値の条件付き分布は、前後往復尾鎖によって決定される分布に収束する。
• 反例により、遷移機構が漸近的スケーリング条件 (2.2) を満たさない場合、理論が破綻することを示す。特に、ノイズの尾挙動が非漸近的安定でない方法で状態に依存する場合に顕著である。
• 潜在マルコフスイッチングを伴う状況（例：最大自己回帰過程）では、尾鎖の増分は独立ではなく、マージナル分布が正則変動であっても、前向き尾鎖は単純な i.i.d. 乗法的ランダムウォークではない。