[論文レビュー] Mustafin varieties, moduli spaces and tropical geometry

Marvin Anas Hahn, Binglin Li|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有理写像とトロピカル幾何学を用いて、ムスタフィン多様体の新しい組合せ的枠組みを導入し、その特異ファイバーにおける既約成分の完全な分類を可能にした。多視点幾何の多視点多様体がムスタフィン特異ファイバーの成分として現れることを確立し、単純点を通じてリンクされたグラスマン多様体と関連づけ、r=1の場合にムスタフィン多様体がユニタリシャイマ多様体の標準的局所モデルを実現することを示した。

ABSTRACT

Mustafin varieties are flat degenerations of projective spaces, induced by a choice of an $n-$tuple of lattices in a vector space over a non-archimedean field. They were introduced by Mustafin in the 70s in order to generalise Mumford's groundbreaking work on the unformisation of curves to higher dimension. These varieties have a rich combinatorial structure as can be seen in pioneering work of Cartwright, Häbich, Sturmfels and Werner. In this paper, we introduce a new approach to Mustafin varieties in terms of images of rational maps, which were studied by Li. Applying tropical intersection theory and tropical convex hull computations, we use this method to give a new combinatorial description of the irreducible components of the special fibers of Mustafin varieties. This enables connections to various topics. In particular, we see that any multiview variety appears as an irreducible component of the special fiber of some Mustafin variety. Furthermore, we use an interpretation of Mustafin varieties as a moduli functor introduced by Faltings to relate them to certain moduli functors, called linked Grassmannians. These objects are featured in limit linear series theory. The focal point of study regarding linked Grassmannians are so-called extit{simple points}. As a direct consequence of the new combinatorial description of Mustafin varieties, we prove that the simple points of linked Grassmannians are dense in every fiber. Finally, we use the connection to linked Grassmannians, to relate the special fibers of Mustafin varieties to certain local models of unitary Shimura varieties.

研究の動機と目的

• トロピカル幾何学を用いて、ムスタフィン多様体の特異ファイバーの既約成分の新しい組合せ的記述を提供すること。
• 多視点幾何と関連づけ、多視点多様体が特異ファイバーの既約成分として現れることを示すことにより、ムスタフィン多様体と多視点幾何の間の関係を確立すること。
• 特に単純点に注目して、モジュライ的解釈を通じてリンクされたグラスマン多様体とムスタフィン多様体を結びつけること。
• ユニタリシャイマ多様体の局所モデルとムスタフィン多様体の関係を明らかにし、r=1の場合に標準的局所モデル$M^{\text{loc}}$がムスタフィン多様体と同型であることを示すこと。
• 新しい組合せ的枠組みを用いて、リンクされたグラスマン多様体の単純点の集合が、すべてのファイバーで稠密であることを証明すること。

提案手法

• 離散値環上でのムスタフィン多様体を、射影空間から射影空間の積への有理写像の像を用いて構成すること。
• 特異ファイバーの構造を分析するために、トロピカル交線理論とトロピカル凸包の計算を適用すること。
• 特異ファイバーを、剰余体上の射影空間の積への有理写像の像の閉包としてモデル化すること。
• ブルハット＝ティツのビルディング内の格子類のトロピカル凸包を用いて、既約成分を特徴づけること。
• リンクされたグラスマン多様体の単純点と、$\mathbb{P}_{k}^{d-1}$から射影空間の積への有理写像の像との間の対応関係を確立すること。
• 格子配置$\Gamma$を介して、ユニタリシャイマ多様体の標準的局所モデル$M^{\text{loc}}$（r=1の場合）がムスタフィン多様体と同型であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ムスタフィン多様体の特異ファイバーの既約成分は、どのように組合せ的に分類できるか？
• RQ2 コンピュータビジョンにおける多視点多様体は、どのようにムスタフィン特異ファイバーの成分として現れるか？
• RQ3 特に単純点の観点から、ムスタフィン多様体とリンクされたグラスマン多様体の正確な関係は何か？
• RQ4 ムスタフィン多様体は、ユニタリシャイマ多様体の局所モデルとどのように関係するか？
• RQ5 リンクされたグラスマン多様体における単純点の集合は、すべてのファイバーで稠密か？

主な発見

• ムスタフィン多様体の特異ファイバーは、$\mathbb{P}_{k}^{d-1}$から剰余体上の射影空間の積への有理写像の像の閉包である。
• AST13で定義される多視点多様体のすべてが、あるムスタフィン多様体の特異ファイバーの既約成分として現れる。
• リンクされたグラスマン多様体における単純点の集合は、それらが有理写像の像として実現され、その閉包が特異ファイバーを形成することにより、すべてのファイバーで稠密であることが示された。
• ユニタリシャイマ多様体の標準的局所モデル$M^{\text{loc}}$（r=1の場合）は、特定の配置$\Gamma = \{L_0, \dots, L_{d-1}\}$から構成されるムスタフィン多様体と同型である。
• ムスタフィン多様体$\mathcal{M}(\Gamma)$の特異ファイバーは、リンクされたグラスマン多様体$\mathrm{LG}(1,\Gamma)$における単純点の集合の閉包に等しく、すなわち$\overline{\mathrm{Simp}(\Gamma)} = \mathcal{M}(\Gamma)_k$が成り立つ。
• この構成により、r=1の場合の局所モデル$M^{\text{loc}}$の被約性および平坦性が、ムスタフィン枠組みを用いて新たな証明が得られた。