[論文レビュー] Mutually Unbiased Bases and Orthogonal Decompositions of Lie Algebras

P. Oscar Boykin, Meera Sitharam+2 more|ArXiv.org|Jun 10, 2005

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、量子情報における相互に unbiased な基底（MUBs）と、特殊線型リー代数 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の直交分解（ODs）を Cartan の部分代数に分解することの間の直接的な対応関係を確立する。$n$ 次元における完全な $n+1$ 個の MUB の集合は、$\dagger$-閉かつ既約な $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の直交分解に対応し、このような直交分解（そしてしたがって完全な MUB の集合）が存在するのは、素数のべき次元でのみであり、$n \leq 5$ ではユニタリ共役を除いて一意であることが示された。この関係により、MUB の存在と構造を分析するための新しいリー理論的道具が得られる。

ABSTRACT

We establish a connection between the problem of constructing maximal collections of mutually unbiased bases (MUBs) and an open problem in the theory of Lie algebras. More precisely, we show that a collection of m MUBs in K^n gives rise to a collection of m Cartan subalgebras of the special linear Lie algebra sl_n(K) that are pairwise orthogonal with respect to the Killing form, where K=R or K=C. In particular, a complete collection of MUBs in C^n gives rise to a so-called orthogonal decomposition (OD) of sl_n(C). The converse holds if the Cartan subalgebras in the OD are also *-closed, i.e., closed under the adjoint operation. In this case, the Cartan subalgebras have unitary bases, and the above correspondence becomes equivalent to a result relating collections of MUBs to collections of maximal commuting classes of unitary error bases, i.e., orthogonal unitary matrices. It is a longstanding conjecture that ODs of sl_n(C) can only exist if n is a prime power. This corroborates further the general belief that a complete collection of MUBs can only exist in prime power dimensions. The connection to ODs of sl_n(C) potentially allows the application of known results on (partial) ODs of sl_n(C) to MUBs.

研究の動機と目的

• 量子力学における相互に unbiased な基底（MUBs）と複素特殊線型リー代数の直交分解（ODs）の間の数学的ブリッジを確立すること。
• $\mathbb{C}^n$ における $n+1$ 個の完全な MUB の集合が、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の $\dagger$-閉かつ既約な直交分解に対応することを示すこと。
• リー代数の直交分解に関する既知の結果を用いて、MUB に関する新たな制約条件と構造的洞察を得ること、特に小さな次元および素数のべきでない次元において。
• リー代数の枠組みを用いて、MUB の構成における対称性、単項的性（monomiality）、および「良さ」（niceness）の役割を調査すること。

提案手法

• $\mathbb{K}^n$ における正規直交基底から $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{K})$ の Cartan の部分代数を構成し、キリング形式を用いて直交性を保証すること。
• 複素数体 $\mathbb{C}^n$ における $\mu$ 個の相互に unbiased な基底の集合が、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ における $\mu$ 個の対ごとに直交する Cartan の部分代数を誘導することを証明すること。
• $\dagger$-閉な Cartan の部分代数がユニタリ誤り基底に対応し、したがってユニタリ行列の最大可換クラスに対応することを確立すること。
• 既知の $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の既約直交分解の分類を用いて、MUB にかかる構造的制約を導き出し、特に素数のべき次元でのみ存在することを示すこと。
• リー理論の結果、特に既約および単項的直交分解の分類を応用して、MUB の集合の一意性および対称性の性質を導出すること。
• 直交分解に対する自己同型群の作用を、MUB の集合の対称性に翻訳し、既約性が $\mathrm{Aut}(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}))$-共役を除いて高次元の対称性を持つことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な $n+1$ 個の相互に unbiased な基底の存在は、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の $\dagger$-閉かつ既約な直交分解の存在を示唆するか？
• RQ2 直交分解が素数のべき次元でのみ存在するという予想を用いることで、完全な MUB の集合の存在を制限できるか？
• RQ3 小さな次元 $n \leq 5$ において、完全な MUB の集合はユニタリ共役を除いて一意であり、標準的な nice error base を用いた構成に対応するか？
• RQ4 完全な MUB の集合の単項的性は、対応するユニタリ誤り基底の「良さ」（niceness）を示唆するか、逆にその逆も成り立つか？
• RQ5 最大可換クラスまたは Cartan の部分代数の部分集合は、常に完全な単項的ユニタリ誤り基底に拡張可能か？

主な発見

• $n \leq 5$ の次元では、$n+1$ 個の完全な相互に unbiased な基底が存在し、$U_n(\mathbb{C})$-共役を除いて一意であり、標準的な nice error base を用いた構成に対応する。
• $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の直交分解（OD）が存在するのは、$n$ が素数のべきである場合に限られ、これは長年の予想である完全な MUB の集合が素数のべき次元でのみ存在することを支持する。
• 既約な $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ の直交分解は、素数のべき次元でのみ存在し、本質的に一意であり、標準的な単項的 OD が唯一の例（$n=27$ を除く）である。
• $\dagger$-閉な直交分解と完全な MUB の集合との間の対応は、既知の nice unitary error base の分割による構成と同等であり、量子情報とリー代数の構造を結びつける。
• $n=6$ の場合、単項的行列に関する既知の結果により、最大可換クラスから得られる MUB の数は最大で3つに制限され、この次元では完全な MUB の存在が成立しないことと整合的である。
• 既約な直交分解の自己同型群は $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$ 上に既約に作用するため、このような MUB の集合は大きな対称性群を持つことが示唆される。