[論文レビュー] Mutually Unbiased Bases, Generalized Spin Matrices and Separability

A. O. Pittenger, Morton H. Rubin|ArXiv.org|Aug 26, 2003

Matrix Theory and Algorithms参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、d が素数べきのとき、d次元ヒルベルト空間における d+1 個の相互に unbiased な基底（MUB）の存在に対する構成的証明を提示する。一般化されたスピン行列と有限体理論を用いて、有限体上のベクトル空間にインデックス付けされたこれらの行列と、可換なユニタリ族の性質を活用することで、明示的な正規直交基底を導出し、MUBの構造と量子状態の分離可能性の間の関係を確立する。

ABSTRACT

A collection of orthonormal bases for a complex dXd Hilbert space is called mutually unbiased (MUB) if for any two vectors v and w from different bases the square of the inner product equals 1/d: || ^{2}=1/d. The MUB problem is to prove or disprove the the existence of a maximal set of d+1 bases. It has been shown in [W. K. Wootters, B. D. Fields, Annals of Physics, 191, no. 2, 363-381, (1989)] that such a collection exists if d is a power of a prime number p. We revisit this problem and use dX d generalizations of the Pauli spin matrices to give a constructive proof of this result. Specifically we give explicit representations of commuting families of unitary matrices whose eigenvectors solve the MUB problem. Additionally we give formulas from which the orthogonal bases can be readily computed. We show how the techniques developed here provide a natural way to analyze the separability of the bases. The techniques used require properties of algebraic field extensions, and the relevant part of that theory is included in an Appendix.

研究の動機と目的

• d=p^n である素数 p に対して、d 次元における相互に unbiased な基底（MUB）問題に対する構成的解法を提供すること。
• トレース内積に関して直交する d×d ユニタリ行列としての一般化スピン行列—パウリ行列の一般化—が、どのように MUB を生成するかを示すこと。
• これらの行列のインデックス構造と、導出された基底における量子状態の分離可能性との関係を確立すること。
• 体の拡張とトレース演算子の形式的取り扱いを用いて、可換なユニタリ行列族を体系的に構成し、その固有ベクトルが MUB を与えるようにすること。
• 体論的道具と双対基底構成を用いて、MUB を明示的に計算するためのアルゴリズム的フレームワークを提示すること。

提案手法

• 本稿では、有限体 GF(d) の要素にインデックス付けされた、フロベニウス内積に関して直交する d² 個のユニタリ行列としての一般化スピン行列を導入する。
• d=p^n のとき、GF(d) を Z_p 上の n 次元ベクトル空間として扱い、これにより可換な行列族を定義する。
• 各可換族の固有ベクトルが一つの相互に unbiased な基底を形成し、異なる基底からのベクトルに対して |⟨v,w⟩|² = 1/d が成り立つ。
• 主要な技術的手段として、トレース演算と多項式の根を用いて、GF(d) 上の双対基底を定義し、スピン行列から射影演算子を計算する。
• 必要な行列族を構成するには、代数的体拡張と既約多項式の性質に依存する。
• d=2, 4, 9 の具体例を通じて、有限体理論から導かれるトレースおよび双対基底の公式を用いて構成を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d が素数べきのとき、d 次元ヒルベルト空間における d+1 個の相互に unbiased な基底を構成的に生成する方法は開発可能か？
• RQ2 一般化スピン行列—パウリ行列の一般化—は、その固有ベクトルが MUB を与える可換族をどのように生成するか？
• RQ3 有限体の構造は、MUB の構成プロセスのインデックス付けと整理にどのような役割を果たすか？
• RQ4 一般化スピン行列のインデックス構造と、対応するスピン行列の基底の分離可能性の関係は何か？
• RQ5 有限体上でのトレース演算と双対基底形式的記法を用いて、各 MUB の射影演算子を体系的に計算できるか？

主な発見

• 素数 p に対して d=p^n であるとき、d 次元ヒルベルト空間における d+1 個の相互に unbiased な基底の存在について、構成的証明が確立された。
• 一般化スピン行列は、トレース内積に関して直交する d² 個のユニタリ行列から成り、単位行列を含む。
• d+1 個の MUB の各々は、d 個の一般化スピン行列からなる可換族の固有系として得られ、族間で共有されるのは単位行列のみである。
• 基底の分離可能性は、対応するスピン行列のインデックスベクトルの構造によって決定され、分離可能な基底はインデックス空間内の特定の線形形式に対応する。
• 有限体上でのトレース演算と双対基底ベクトルを用いて、各 MUB の射影演算子を明示的に計算するための公式が導出された。
• 本手法により、任意の次元 d=p^n におけるすべての MUB をアルゴリズム的に計算可能であり、d=2² および d=3² について具体例が提示された。