[論文レビュー] n-Linear Algebra of type I and its applications

Kandasamy, W. B. Vasantha, Florentín Smarandache|ArXiv.org|Dec 10, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、バイラーナー代数およびバイベクトル空間の一般化として、計算応用におけるバルクデータを処理することを目的としたタイプIのn線形代数を導入する。nベクトル空間およびn行列といった基礎的構造を確立し、nマルコフ連鎖、nレオンチェフモデル、n最良近似による誤り訂正、n固有値を用いた有限要素解析への応用を示している。また、ファジィモデル（例：ファジィ認知マップ）への応用拡張も示唆されている。

ABSTRACT

With the advent of computers, one needs algebraic structures that can simultaneously work with bulk data. One such algebraic structure, namely, n-linear algebras of type I are introduced in this book and its applications to n-Markov chains and n-Leontief models are given. These structures can be thought of as the generalization of bilinear algebras and bivector spaces. Several interesting n-linear algebra properties are proved. This book has four chapters. The first chapter just introduces n-group which is essential for the definition of n-vector spaces and n-linear algebras of type I. Chapter two gives the notion of n-vector spaces and several related results which are analogues of the classical linear algebra theorems. In case of n-vector spaces, we can define several types of linear transformations. The notion of n-best approximations can be used for error correction in coding theory. The notion of n-eigen values can be used in deterministic modal superposition principle for undamped structures, which can find its applications in finite element analysis of mechanical structures with uncertain parameters. Further, it is suggested that the concept of n-matrices can be used in real world problems which adopts fuzzy models like Fuzzy Cognitive Maps, Fuzzy Relational Equations and Bidirectional Associative Memories. The applications of these algebraic structures are given in the third chapter. The fourth chapter suggests problems to further a reader's understanding of the subject.

研究の動機と目的

• 従来の線形代数を超えた多次元データ構造を扱うための一般化された代数的枠組みを構築すること。
• ベクトル空間、線形変換、固有値といった古典的線形代数の概念をn次元への類似物へと拡張すること。
• 複数のデータストリームを同時に処理する必要がある計算モデル（例：マルコフ連鎖や経済入出力モデル）への応用を可能にすること。
• 特に無減衰構造物の有限要素法への応用を想定し、n行列およびn固有値を用いた工学的解析への応用を検討すること。
• ファジィシステム、特にファジィ認知マップおよび双方向連想記憶モデルへのn線形代数の実用的応用を提案すること。

提案手法

• nベクトル空間を構築する基盤としてのn群の定義。
• 同じ体上のn個のベクトル空間の直積としてのnベクトル空間の導入。これにより、複数の同時線形演算が可能となる。
• n線形性を保つnベクトル空間間の写像としてのn線形変換の定式化。
• n次元の残差ノルムを最小化することで、符号理論における誤り訂正に向けたn最良近似の提案。
• n行列理論における一般化された固有方程式を通じてn固有値を導入。構造ダイナミクスへの応用を想定。
• ファジィ論理における複雑なシステムのモデル化にn行列を応用。例：ファジィ関係方程式、双方向連想記憶。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的線形代数の概念を、同時に処理されるn次元データ構造に一般化する方法は何か？
• RQ2 タイプIのnベクトル空間およびn線形変換の構造的・代数的性質は何か？
• RQ3 n固有値およびn最良近似は、工学的および符号理論の応用において効果的に利用可能か？
• RQ4 n線形代数は、nマルコフ連鎖およびnレオンチェフ入出力モデルのモデリングおよび分析にどのように応用可能か？
• RQ5 n行列は、ファジィ認知モデルおよび連想記憶モデルの表現および分析をどの程度向上できるか？

主な発見

• タイプIのn線形代数は、nベクトル空間およびn行列を用いて、複数の相互依存するデータストリームを持つシステムを形式的にモデル化するための枠組みを提供する。
• 理論は、n次元設定における複数のタイプの線形変換をサポートし、古典的変換理論を拡張する。
• n最良近似は、n次元誤差ノルムを最小化することで、符号理論における誤り訂正に有効に応用可能であることが示された。
• n固有値は一般化された固有方程式から導出され、無減衰機械的構造物における決定的モード重ね合わせ原理への応用が可能である。
• n行列は、ファジィ認知マップおよび双方向連想記憶を含む複雑なファジィシステムのモデリングに有効なツールとして提案される。
• nマルコフ連鎖およびnレオンチェフモデルへの応用は、経済的および確率的モデリングにおけるn線形代数の有効性を示している。