[論文レビュー] N-manifolds of degree 2 and metric double vector bundles

Madeleine Jotz|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、2次元のN多様体と計量二重ベクトルバンドルの間で圏的同値性を確立し、2次元のスプリットポアソンN多様体がホモトピーを介した自己双対的表現に同値であることを示している。さらに、ラグランジュ的分解を通じて、Lie 2代数的束がVB-Courant代数的束と圏的に同値であることを証明し、Dorfman 2表現およびその双対の新しい特徴付けを導入している。

ABSTRACT

This paper shows the equivalence of the categories of $N$-manifolds of degree $2$ with the category of double vector bundles endowed with a linear metric. Split Poisson $N$-manifolds of degree $2$ are shown to be equivalent to self-dual representations up to homotopy. As a consequence, the equivalence above induces an equivalence between so called metric VB-algebroids and Poisson $N$-manifolds of degree $2$. Then a new description of split Lie $2$-algebroids is given, as well as their "duals", the Dorfman $2$-representations. We show that Dorfman $2$-representations are equivalent in a simple manner to Lagrangian splittings of VB-Courant algebroids. This yields the equivalence of the categories of Lie $2$-algebroids and of VB-Courant algebroids. We give several natural classes of examples of split Lie $2$-algebroids and of the corresponding VB-Courant algebroids. We then show that a split Poisson Lie $2$-algebroid is equivalent to the "matched pair" of a Dorfman $2$-representation with a self-dual representation up to homotopy. We deduce a new proof of the equivalence of categories of LA-Courant algebroids and Poisson Lie $2$-algebroids. We show that the core of an LA-Courant algebroid inherits naturally the structure of a degenerate Courant algebroid. This yields a new formula to retrieve in a direct manner the Courant algebroid found by Roytenberg to correspond to a symplectic Lie $2$-algebroid. Finally we study VB- and LA-Dirac structures in VB- and LA-Courant algebroids. As an application, we extend Li-Bland's results on pseudo-Dirac structures and we construct a Manin pair associated to an LA-Dirac structure.

研究の動機と目的

• 2次元のN多様体と計量二重ベクトルバンドルの間の圏的同値性を確立すること。
• 2次元のスプリットポアソンN多様体がホモトピーを介した自己双対的表現に同値であることを示すこと。
• スプリットLie 2代数的束およびその双対、Dorfman 2表現の新しい特徴付けを提供すること。
• Lie 2代数的束の圏とVB-Courant代数的束の圏の間の同値性を証明すること。
• LA-Courant代数的束のコアが自然に退化したCourant代数的束構造を、双交叉積として有するようになること。

提案手法

• 計量二重ベクトルバンドル（MDVB）の圏と[2]-多様体の圏の間の函手を構成し、全射的かつ本質的に全射的同値性を証明する。
• 計量二重ベクトルバンドルのラグランジュ的分解を用いてDorfman 2表現を定義し、VB代数的束と関連付ける。
• 2表現の一致対の概念を用いて、スプリットポアソンLie 2代数的束を記述する。
• VB代数的束の双対化とホモトピーを介した表現の概念を用い、計量VB代数的束とポアソン構造を関連付ける。
• VB-Courant代数的束とDorfman 2表現を結ぶために、太いCourant代数的束の構成を導入する。
• LA-Courant代数的束のコアを用いて、ポアソン括弧とDorfman接続の双交叉積として、退化したCourant代数的束構造を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元のN多様体は計量二重ベクトルバンドルとどのように関係しているか？
• RQ2 スプリットポアソンN多様体の2次元版とホモトピーを介した自己双対的2表現の間の圏的同値性は何か？
• RQ3 Dorfman 2表現はVB-Courant代数的束のラグランジュ的分解とどのように関係しているか？
• RQ4 Lie 2代数的束とVB-Courant代数的束の間の関係は何か？
• RQ5 LA-Courant代数的束のコアはどのようにして退化したCourant代数的束構造を自然に有するのか？

主な発見

• 計量二重ベクトルバンドルの圏と[2]-多様体の圏の間には、全射的かつ本質的に全射的な函手が存在し、圏的同値性が確立される。
• 2次元のスプリットポアソンN多様体は、ホモトピーを介した自己双対的表現に同値であり、これによりその構造の新たな特徴付けが得られる。
• Dorfman 2表現はVB-Courant代数的束のラグランジュ的分解に同値であり、これにより新たな幾何的解釈が可能になる。
• Lie 2代数的束の圏とVB-Courant代数的束の圏は、太いCourant代数的束の構成によって同値である。
• LA-Courant代数的束のコアは自然に退化したCourant代数的束構造を有し、ポアソン括弧とDorfman接続の双交叉積として実現される。
• シンプレクティックLie 2代数的束に対応するCourant代数的束を再構成するための新しい公式が導出された。