[論文レビュー] Nakai-Moishezon criterions for complex Hessian equations

Jian Song|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、コンパクトなケーラー多様体上の複素ヘッセのJ方程式の可解性について、解析的正性条件とトポロジカルな交差数の間の関係を確立することで、Nakai-Moishezon型の基準を確立する。Lejmi-Szekelyhidiの予想である『J方程式が解をもつのは、すべての次元 $ m < n $ の解析的部分多様体 $ Z $ に対して、あるホロモルフィック交差数が正であるときである』を証明し、その応用により、最小モデル上での定スカラー曲率ケーラー計量の構成を行う。

ABSTRACT

The $J$-equation proposed by Donaldson is a complex Hessian quotient equation on Kähler manifolds. The solvability of the $J$-equation is proved by Song-Weinkove to be equivalent to the existence of a subsolution. It is also conjectured by Lejmi-Szekelyhidi to be equivalent to a stability condition in terms of holomorphic intersection numbers as an analogue of the Nakai-Moishezon criterion in algebraic geometry. The conjecture is recently proved by Chen under a stronger uniform stability condition. In this paper, we establish a Nakai-Moishezon type criterion for pairs of Kähler classes on analytic Kähler varieties. As a consequence, we prove Lejmi-Szekelyhidi's original conjecture for the $J$-equation. We also apply such a criterion to obtain a family of constant scalar curvature Kähler metrics on smooth minimal models.

研究の動機と目的

• 解析的ケーラー多様体上のJ方程式に対して、古典的代数幾何学的基準を複素ヘッセ方程式へ一般化したNakai-Moishezon型基準を確立すること。
• Lejmi-Szekelyhidiの予想を証明すること：J方程式が滑らかな解をもつのは、すべての次元 $ m < n $ の解析的部分多様体 $ Z $ に対して、トポロジカルな条件 $ neta^m - meta^{m-1}eta > 0 $ が成り立つときである。
• この基準を用いて、コンパクトなケーラー多様体の滑らかな最小モデル上での定スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の1パラメータ族を構成すること。
• 複素ヘッセ方程式の文脈において、解析的下界解条件とトポロジカルな安定性条件の間のギャップを埋めること。
• 相対的近傍枠組みを用いて、特異な解析的多様体へ、下界解の存在とトポロジカルな正性の間の同値性を拡張すること。

提案手法

• ある解析的ケーラー多様体 $ X $ がより大きなケーラー多様体 $ ilde{M} $ に埋め込まれている場合、Kählerクラスのペア $ (eta, eta) $ に対して、相対的Nakai-Moishezon基準を導入し、すべての成分で $ rac{eta^{n-1}eta}{eta^n} o 1 $ となるように正規化する。
• 解析的正性条件 $ n ilde{eta}^{n-1} - (n-1) ilde{eta}^{n-2} ilde{eta} > 0 $ が $ X $ の近傍で成り立つのは、すべての $ m $ 次元の解析的部分多様体 $ Z \neq X $ に対して、トポロジカルな条件 $ \big(neta^m - meta^{m-1}eta\big) \big|_Z > 0 $ が成り立つときであることを証明する。
• 摂動技術を用いる：$ \beta_\rho = \beta + \rho\theta $、$ \theta $ をケーラー形式とし、$ \rho > 0 $ を小さい値とする。$ \beta_\rho $ での正性条件が成り立つならば、基準により下界解の存在が示される。
• 基準を canonical class $ K_X $ に適用し、$ K_X $ がnef で $ \beta^{n-1} \neq 0 $ ならば、J方程式を通じて $ \beta $ がcscK計量をもつことを示す。
• 極限の議論を用いる：$ \rho \to 0 $ のとき、摂動されたクラス $ \beta_\rho $ は正性条件を満たし、その極限がJ方程式の解を与える。
• 補題8.1を用いて、スケーリング後に不等式 $ (n+\rho)\tilde{\beta}^{n-2} - (n-1)\tilde{\beta}^{n-2} > 0 $ が成り立つことから、一意なcscK計量の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 J方程式の可解性は、代数幾何学におけるNakai-Moishezon基準に類似したトポロジカルな条件によって特徴づけられるか？
• RQ2 Lejmi-Szekelyhidiの予想（J方程式が解をもつのは、すべての次元 $ m < n $ の解析的部分多様体 $ Z $ に対して $ n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta > 0 $ が成り立つときである）は、一般のコンパクトケーラー多様体について真か？
• RQ3 Nakai-Moishezon型基準は、特異な解析的多様体およびより大きなケーラー環境における相対的近傍へ拡張可能か？
• RQ4 J方程式の下界解の存在は、最小モデル上での定スカラー曲率ケーラー計量の存在を示唆するか？
• RQ5 canonical class $ K_X $ は、J方程式を通じてcscK計量の存在を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• この論文はLejmi-Szekelyhidiの予想を証明した：J方程式は、すべての $ m $ 次元の解析的部分多様体 $ Z \neq X $ に対して $ \big(n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta\big) \big|_Z > 0 $ が成り立つとき、かつそのときに限り、一意な滑らかな解をもつ。
• Nakai-Moishezon型基準が確立された：解析的正性条件 $ n\tilde{\beta}^{n-1} - (n-1)\tilde{\beta}^{n-2}\tilde{\beta} > 0 $ が $ X $ の近傍で成り立つのは、すべての部分多様体でトポロジカルな正性条件が成り立つときである。
• コンパクトケーラー多様体 $ X $ 上のKählerクラス $ \beta $ に対して、$ K_X $ がnef で $ \beta^{n-1} \neq 0 $ ならば、J方程式を通じて $ \beta $ に一意な定スカラー曲率ケーラー計量が存在する。
• $ K_X \neq 0 $ だが $ \beta^{n-1} \neq 0 $ ならば、小さな $ \rho > 0 $ に対して摂動クラス $ \beta_\rho = \beta + \rho\theta $ は正性条件を満たし、$ \rho \to 0 $ の極限で解が得られる。
• $ K_X \neq 0 $ かつ $ \beta^{n-1} = 0 $ ならば、すべての部分多様体 $ Z $ に対して $ K_X \big|_Z = 0 $ であり、条件 $ \big(n\beta^m - m\beta^{m-1}\beta\big) \big|_Z > 0 $ が依然として成り立つため、可解性が保証される。
• この基準は最小モデルに適用可能である：$ X $ が $ K_X $ がnef で $ \beta^{n-1} \neq 0 $ である滑らかな最小モデルならば、$ \beta $ はcscK計量をもつ。