[論文レビュー] Nakano positivity of singular Hermitian metrics and vanishing theorems of Demailly-Nadel-Nakano type

Takahiro Inayama|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$L^2$-推定を用いて、正則ベクトル bundle 上の特異Hermitian計量に対するNakano半正定性の新しい定義を提示し、Demailly-NadelおよびNakanoの消滅定理を一般化する。グローバルにNakano半正定な計量について $L^2$-推定と消滅定理を確立し、$L^2$ 計量構成を用いて対称冪や相対正則バンドルなどのさまざまなバンドル上での存在を示す。

ABSTRACT

In this article, we propose a definition of Nakano semi-positivity of singular Hermitian metrics on holomorphic vector bundles. By using this positivity notion, we establish $L^2$-estimates for holomorphic vector bundles with Nakano positive singular Hermitian metrics. We also show vanishing theorems, which generalize both Nakano type and Demailly-Nadel type vanishing theorems. As applications, we specifically construct globally Nakano semi-positive singular Hermitian metrics for several bundles, and prove vanishing theorems associated with them.

研究の動機と目的

• 正則ベクトルバンドル上の特異Hermitian計量のNakano半正定性を、曲率電流に依存せずに定義すること。
• グローバルにNakano半正定な特異Hermitian計量について $L^2$-推定と消滅定理を確立すること。
• 特異な状況下でDemailly-NadelおよびNakano型の消滅定理を一般化すること。
• 例えば $S^mE \otimes \det E$ のようなバンドル上に、グローバルにNakano半正定な特異Hermitian計量の明示的例を構成すること。
• 正則化、正定性条件の同値性、特異な状況下でのグローバルとローカル定義の関係といった基礎的問題に取り組むこと。

提案手法

• 前人研究の最適 $L^2$-推定に基づくグローバルな $L^2$-推定条件を導入し、$"]\bar{\partial}$-方程式の解の存在を用いて、グローバルなNakano半正定性を定義する。
• 曲率作用素 $B_{\omega_\Omega,\psi} = [\sqrt{-1}\partial\bar{\partial}\psi \otimes \mathrm{id}_E, \Lambda_{\omega_\Omega}]$ を用いて、$L^2$-推定に基づく正定性の特徴づけを行う。
• $L^2$-推定条件を応用し、射影バンドルからの引き戻しによって $S^mE \otimes \det E$ 上にグローバルにNakano半正定な計量を構成する。
• Kähler計量 $\omega_X$ のためのポテンシャル $\varphi_U$ を構成し、$\widehat{h} e^{\delta/m \pi^*\varphi_U}$ の正定性を用いて、射影多様体上で厳密にNakano $\delta_{\omega_X}$-正定性を確立する。
• $L^2$-推定結果を応用し、Nakano正定性の仮定の下で $H^q(X, \Omega^n \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$ の消滅定理を証明する。
• 等長同型 $\pi_* (K_{\mathbb{P}(E)/X} \otimes \mathcal{O}_{\mathbb{P}(E)}(r+m)) \cong S^mE \otimes \det E$ を用いて、射影バンドル上の正定性を基底バンドルへ移す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上の多価円板上の自明バンドルに、Nakano正定曲率を持つ滑らかな計量で近似可能な、特異なNakano半正定なHermitian計量は存在するか？
• RQ2 厳密にNakano正定な特異Hermitian計量について、弱い擬凸複素多様体上でも $L^2$-推定と消滅定理を拡張できるか？
• RQ3 定義1.1におけるNakano半正定性は、事前に仮定しない限り、Griffiths半正定性を含意するか？
• RQ4 特異なHermitian計量について、$n$ 個の条件 $\{ (2-k) \}_{1 \leq k \leq n}$ は、滑らかな計量の場合と同様に同値であるか？
• RQ5 特異なHermitian計量について、グローバルとローカルのNakano半正定性は同値か？

主な発見

• 本稿では、曲率電流の問題を避けるために、$L^2$-推定を用いて特異Hermitian計量のグローバルおよびローカルなNakano半正定性を定義する。
• $h$ がGriffiths半正定であれば、$h \otimes \det h$ は $E \otimes \det E$ 上でグローバルにNakano半正定であることを証明する。
• 固定されたKähler計量 $\omega_X$ を持つ射影多様体において、$\mathbb{P}(E)$ 上の $L^2$ 計量を用いて、$S^mE \otimes \det E$ 上にグローバルに厳密にNakano $\delta_{\omega_X}$-正定な計量を構成する。
• $S^mE \otimes \det E$ 上の計量 $h_m$ はZariski開部分集合上で滑らかであり、グローバルに厳密にNakano $\delta_{\omega_X}$-正定であるため、$L^2$-推定と消滅定理が成り立つ。
• グローバルにNakano半正定な仮定の下で、$H^q(X, \Omega^n \otimes E \otimes \mathcal{I}(h))$ の消滅定理が成り立ち、Demailly-NadelおよびNakanoの結果を一般化する。
• グローバルとローカルのNakano半正定性の同値性は未解決の問題であるが、Nakano半正定な計量の正則化が可能であれば、その同値性が従う。