[論文レビュー] New characterizations of plurisubharmonic functions and positivity of direct image sheaves

Fusheng Deng, Zhiwei Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、$L^p$ 拡張性および特異なフィンスラー計量を用いて、正則ベクトルバンドルのグリフィス正性と擬サブハーモニック関数の新しい特徴付けを提示する。もし Ohsawa-Takegoshi の拡張定理が重み $e^{-m\varphi}$ に対して成り立つならば、$\varphi$ は擬サブハーモニックであることが示され、この結果を応用して、ケーラー多様体の族における、一般化されたベルグマン核計量の擬サブハーモニック性および、ねじれ相対正則な標準バンドルの直接像層のグリフィス正性を証明する。

ABSTRACT

We give new characterizations of plurisubharmonic functions and Griffiths positivity of holomorphic vector bundles with singular Finsler metrics. As applications, we present a different method to prove plurisubharmonic variation of generalized Bergman kernel metrics and Griffiths positivity of the direct images of twisted relative canonical bundles associated to holomorphic families of Kähler manifolds.

研究の動機と目的

• 正則セクションの $L^p$ 拡張性に基づく、擬サブハーモニック関数の新しい特徴付けの提供。
• 拡張定理とねじれ相対正則標準バンドルの直接像層の正性との間の幾何的関係の確立。
• ケーラー多様体の正則族における、一般化されたベルグマン核計量の擬サブハーモニック性およびグリフィス正性を示すための新しい手法の提供。
• 整合的解析層上の特異なフィンスラー計量およびその曲率性質の理解の拡張。

提案手法

• 重み $e^{-m\varphi}$ を用いた Ohsawa-Takegoshi の拡張定理を用い、$\frac{1}{m}\log K_m$ の漸近的挙動により、擬サブハーモニック関数を特徴付ける。
• 正則ベクトルバンドル上に特異なフィンスラー計量を構成し、拡張理論的基準を用いてそのグリフィス正性を分析する。
• ファイバーに沿った統合を用いた Hodge 型計量を直接像層に適用し、自明なファイブレーションの場合に計量が $\varphi$ に一致することを特定する。
• 拡張定理と $L^2$ 評価を用いて、双対バンドルの正則セクション $u$ に対する $\log|u|$ の擬サブハーモニック性に帰着することで、正性問題を解消する。
• 正規族とモンテルの定理を用いて、コンパクト部分集合上で $\log|u|$ の一様有界性を確立し、これにより擬サブハーモニック関数への拡張を可能にする。
• 三段階の議論により主結果を証明する：(1) 拡張仮定の下で $\log|u|$ の擬サブハーモニック性、(2) ステイン多様体上の部分バンドルへの拡張、(3) 正規族によるコンパクト集合上での $\log|u|$ の有界性。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $e^{-m\varphi}$ に対して Ohsawa-Takegoshi の拡張定理が成り立つような関数 $\varphi$ の条件は何か？ そのとき $\varphi$ が擬サブハーモニックであることが保証されるか？
• RQ2 ねじれ相対正則標準バンドルの直接像層の正性は、曲率推定ではなく、拡張性質によって特徴付けられるか？
• RQ3 重み付きベルグマン核 $K_m$ に対して $\frac{1}{m}\log K_m$ の漸近的挙動は、$\varphi$ の擬サブハーモニック性とどのように関係するか？
• RQ4 特異なフィンスラー計量は、正則ベクトルバンドルのグリフィス正性を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 直接像層上の NS 計量が拡張理論的基準を用いて正曲率であることが示せるか？

主な発見

• Ohsawa-Takegoshi の拡張定理がすべての $m \geq 1$ に対して重み $e^{-m\varphi}$ と、$\lim_{m\to\infty} \frac{1}{m}\log C_m = 0$ の成長条件を満たす場合、$\varphi$ は擬サブハーモニックである。
• 一般化された $m$-ベルグマン核計量は、擬凸領域およびコンパクトケーラー多様体の族において、擬サブハーモニックに変化する。
• 拡張条件の下で、直接像層 $\pi_*(K_{X/Y} \otimes L \otimes \mathcal{I}_k(h))$ はグリフィス正の特異なフィンスラー計量を備える。
• 定理 8.2 および定理 9.3 を用いて、$p_*(kK_{X/Y} \otimes L \otimes \mathcal{I}_k(h))$ 上の NS 計量がグリフィスの意味で正曲率であることが示された。
• 層 $\mathcal{E}^*$ の正則セクション $u$ のノルムはコンパクト部分集合上で有界であり、これにより $\log|u|$ が底上に擬サブハーモニック関数へ拡張可能である。
• 証明では、Ohsawa-Takegoshi の定理を用いて正則関数を構成し、一様定数を有する $L^2$ 評価を適用することで、$\log|u|$ が擬サブハーモニックであることが示された。