[論文レビュー] Narrow Orthogonally Additive Operators on Lattice-Normed Spaces

Xiao Chun Fang, Marat Pliev|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2015

Advanced Banach Space Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、格子ノルム空間への直交加法的狭義作用素の理論を拡張し、Banach-Kantorovich空間からBanach格子への$C$-コンパクトで側面的からノルム連続な直交加法的作用素が狭義であることを証明する。さらに、原子のないBanach-Kantorovich空間から$\ell_p(\Gamma)$または$c_0(\Gamma)$への支配的Uryson作用素が狭義であることを確立し、順序狭義な直交加法的作用素の正確な支配的が自身で順序狭義であることを示している。

ABSTRACT

The aim of this article is to extend results of M.~Popov and second named author about orthogonally additive narrow operators on vector lattices. The main object of our investigations are an orthogonally additive narrow operators between lattice-normed spaces. We prove that every $C$-compact laterally-to-norm continuous orthogonally additive operator from a Banach-Kantorovich space $V$ to a Banach lattice $Y$ is narrow. We also show that every dominated Uryson operator from Banach-Kantorovich space over an atomless Dedekind complete vector lattice $E$ to a sequence Banach lattice $\ell_p(Γ)$ or $c_0(Γ)$ is narrow. Finally, we prove that if an orthogonally additive dominated operator $T$ from lattice-normed space $(V,E)$ to Banach-Kantorovich space $(W,F)$ is order narrow then the order narrow is its exact dominant $\ls T s$.

研究の動機と目的

• ベクトル格子から格子ノルム空間への直交加法的狭義作用素に関する結果を一般化すること。
• 格子ノルム空間間の直交加法的作用素が狭義であるための条件を調査すること。
• 作用素の順序狭義性とその正確な支配的との関係を確立すること。
• Banach-Kantorovich空間および列格子の文脈における支配的Uryson作用素の挙動を分析すること。

提案手法

• ノルムがベクトル格子$E$の値をとる格子ノルム空間の枠組みを用いる。
• $C$-コンパクト性および側面的からノルム連続性を用いて作用素の狭義性を特徴付ける。
• 順序収束およびネットに基づく分解を用いて、直交分解下での作用素の挙動を分析する。
• 直交加法的作用素$T$の正確な支配的$|T|$を、順序双対空間で導入し、分析する。
• Banach-Kantorovich空間における$(bo)$-収束および$(bo)$-完備性の概念を用いて、作用素ネットの収束を保証する。
• 原子のないDedekind完備ベクトル格子の構造を応用し、$\ell_p(\Gamma)$または$c_0(\Gamma)$へのUryson作用素の狭義性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Banach-Kantorovich空間からBanach格子への$C$-コンパクトで側面的からノルム連続な直交加法的作用素が狭義である条件は何か？
• RQ2 原子のないベクトル格子上のBanach-Kantorovich空間から$\ell_p(\Gamma)$または$c_0(\Gamma)$への支配的Uryson作用素は、必ず狭義であるか？
• RQ3 正確な支配的$|T|$の順序狭義性は、元の作用素$T$の順序狭義性を示唆するか？
• RQ4 格子ノルム空間およびベクトル格子のどのような構造的性質が、直交加法的作用素の狭義性を保証するか？

主な発見

• Banach-Kantorovich空間$V$からBanach格子$Y$への任意の$C$-コンパクトで側面的からノルム連続な直交加法的作用素は狭義である。
• 原子のないDedekind完備ベクトル格子$E$上のBanach-Kantorovich空間から$\ell_p(\Gamma)$または$c_0(\Gamma)$への任意の支配的Uryson作用素は狭義である。
• $(V,E)$から$(W,F)$への直交加法的支配的作用素$T$が順序狭義であれば、その正確な支配的$|T|$も順序狭義である。
• 分解ネットを介して$|T|$の順序狭義性が保たれることを示す。収束$\big| |T|(f_1^\alpha - f_2^\alpha) - |T|(g_1^\alpha - g_2^\alpha) \big| \overset{(o)}{\to} 0$により証明される。
• 作用素の作用の成分間の差が順序でゼロに収束するような分解ネット$e = (f_1^\alpha + g_1^\alpha) \sqcup (f_2^\alpha + g_2^\alpha)$の構成に依拠している。
• $e = e_+ - e_-$のとき、$e_+ = f_1^\alpha \sqcup f_2^\alpha$および$e_- = g_1^\alpha \sqcup g_2^\alpha$とすると、順序分解下での狭義性の安定性が確認される。