[論文レビュー] Nash equilibria of threshold type for two-player nonzero-sum games of stopping

Tiziano De Angelis, Giorgio Ferrari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 35被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、線形正則拡散で駆動される2人零和でない最適停止ゲームにおける、しきい値型のナッシュ均衡の存在および一意性の十分条件を確立する。均衡は、各プレイヤーが境界区間への最初の到達時刻に停止する形で生じ、しきい値は滑らかさ適合および境界挙動条件から導かれる代数方程式系の解として得られ、確率的制御における自由境界問題に関する先行研究を拡張する。

ABSTRACT

This paper analyses two-player nonzero-sum games of optimal stopping on a class of linear regular diffusions with not non-singular boundary behaviour (in the sense of It\\^o and McKean (1974), p.\\ 108). We provide sufficient conditions under which Nash equilibria are realised by each player stopping the diffusion at one of the two boundary points of an interval. The boundaries of this interval solve a system of algebraic equations. We also provide conditions sufficient for the uniqueness of the equilibrium in this class.

研究の動機と目的

• 一般の拡散動態下における2人零和でない最適停止ゲームにおけるナッシュ均衡の分析を目的とする。
• 均衡がしきい値型である、すなわち特定の境界への到達時刻に停止するという条件を満たす十分条件を同定することを目的とする。
• このような停止戦略の均衡しきい値を特徴付ける代数方程式系を導出することを目的とする。
• しきい値型戦略のクラス内での均衡の一意性を確立することを目的とする。
• 滑らかさ適合原理および自由境界技術を、一般の境界挙動を伴う非零和設定に拡張することを目的とする。

提案手法

• 割引利得と損失に依存する、誰が先に停止するかに依存する報酬関数を用いて、ゲームを2人用のダイキンゲームとしてモデル化する。
• 基礎となる過程を区間上での線形正則拡散と仮定し、連続係数を許容し、非特異な境界挙動を許容する。
• 確率論的手法およびスケール関数を用いて、滑らかさ適合原理により最適停止時刻を特徴付ける。
• 各プレイヤーの戦略が相手のしきい値戦略に対する最良応答であることを要求することで、均衡しきい値のための方程式系を導出する。
• スケール関数およびスケール関数の比を用いて境界挙動を分析し、最適停止領域を特定する。
• 利得関数および損失関数の幾何的および凸性条件の検証により、存在および一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人零和でない最適停止ゲームが拡散過程上に存在する場合、しきい値型ナッシュ均衡が存在する条件は何か？
• RQ2 利得関数および損失関数、スケール関数を用いて、均衡しきい値を代数的にどのように特徴付けることができるか？
• RQ3 拡散の境界挙動（例：自然境界または入力境界）は、均衡の構造にどのような役割を果たすか？
• RQ4 しきい値型戦略のクラス内での均衡の一意性は、どのような条件下で保証されるか？
• RQ5 滑らかさ適合条件および利得／損失関数の凸性は、このような均衡の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 各プレイヤーが境界区間への到達時刻に停止する場合に、しきい値型ナッシュ均衡が存在し、そのしきい値は滑らかさ適合および境界条件から導かれる代数方程式系の解として得られる。
• 均衡しきい値は、利得関数および損失関数がスケール関数の線形結合と交差する点として決定され、最良応答条件のもとでの最適性が保証される。
• 利得関数および損失関数が関連領域上で厳密な凸性または単調性条件を満たす場合、しきい値型戦略のクラス内での均衡の一意性が保証される。
• 下側境界が非特異でない場合、最適停止戦略は境界で即時停止を含む可能性があり、これは補題A.4で示されている。
• 最適停止問題における価値関数は、報酬を支配する最小の過剰関数として特徴付けられ、スケール関数を用いた明示的な区分的構成が可能である。
• 自由境界問題に関する先行研究を一般化し、非零和設定に一般化された滑らかさ適合法を拡張した。