[論文レビュー] Nash problem for surface singularities is a topological problem

de Bobadilla, Javier Fernández|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、基本体上定義されたウェッジを用いて、表面特異点におけるNash問題を再解釈し、Nash写像の全単射性のための位相的基準を導入する。Nash写像の像が解体の組合せ論的構造、あるいは複素数の場合にはリンクの位相に依存することを証明し、問題を位相的不変量に還元し、有理数ホモロジー球面リンクの場合はその一般性が保証されるならば、一般にその予想が成り立つことを示す。

ABSTRACT

We address Nash problem for surface singularities using wedges. We give a refinement of the characterisation of A. Reguera of the image of the Nash map in terms of wedges. Our improvement consists in a characterisation of the bijectivity of the Nash mapping using wedges defined over the base field, which are convergent if the base field is the field of complex numbers, and whose generic arc has transverse lifting to the exceptional divisor of a resolution of singularities. This improves the recent results of M. Lejeune-Jalabert and A. Reguera for the surface case. In the way to do this we find a reformulation of Nash problem in terms of branched covers of normal surface singularities. As a corollary of this reformulation we prove that the image of the Nash mapping is characterised by the combinatorics of a resolution of the singularity, or, what is the same, by the topology of the abstract link of the singularity in the complex analytic case. Using these results we prove several reductions of the Nash problem, the most notable being that, if Nash problem is true for singularities having rational homology sphere links, then it is true in general.

研究の動機と目的

• A. RegueraによるNash写像の像の特徴付けを、基本体上定義されたウェッジを用いて精緻化すること。
• 一般の弧が特異点の例外除集合へ横断的に上げられるという条件を用いて、Nash写像の全単射性のための位相的基準を確立すること。
• Nash問題を正則表面特異点の分岐被覆の観点から再定式化すること。
• 複素数の場合に、Nash写像の像が解体の組合せ論的構造、あるいは抽象的リンクの位相に依存することを示すこと。
• Nash問題が有理数ホモロジー球面リンクを持つ特異点の場合に還元されることを証明すること。

提案手法

• 基本体上定義されたウェッジを用いてNash写像を分析し、特に基本体が複素数のときの収束性に注目する。
• 一般の弧が解体の例外除集合へ横断的に上げられるという概念を導入し、Nash写像の像を特徴付けるための鍵となる条件とする。
• ウェッジの理論を応用して、Nash問題を表面特異点の分岐被覆の観点から再定式化する。
• 解体グラフの組合せ論的構造とNash写像の全単射性との間に関係を確立する。
• 位相的不変量（特に特異点の抽象的リンク）を用いて、複素解析的状況下でのNash写像の像を特徴付ける。
• 有理数ホモロジー球面リンクを持つ特異点においてNash問題が成立すれば、一般の場合にも成立することを示すことで、Nash問題の還元を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基本体上定義されたウェッジと横断的上げの性質を用いて、表面特異点におけるNash写像の全単射性を特徴づけられるか？
• RQ2 複素数の場合に、Nash写像の像は解体の組合せ論的構造、あるいは抽象的リンクの位相に依存するか？
• RQ3 Nash問題は、有理数ホモロジー球面リンクを持つ特異点の場合に還元可能か？
• RQ4 分岐被覆の理論は、表面特異点におけるNash問題とどのように関係するか？
• RQ5 複素解析的状況下で、ウェッジの収束性がNash写像の特徴付けに果たす役割は何か？

主な発見

• Nash写像の像は、特異点の解体の組合せ論的構造によって特徴づけられ、複素解析的状況では抽象的リンクの位相と同値である。
• Nash写像の全単射性は、収束性（複素数の場合）を満たし、かつ一般の弧が例外除集合へ横断的に上げられるような、基本体上定義されたウェッジの存在と同値である。
• Nash問題は、有理数ホモロジー球面リンクを持つ特異点の場合に還元可能である：そのような特異点で予想が成り立てば、一般の場合にも成り立つ。
• 本稿は、正則表面特異点の分岐被覆の観点から、Nash問題の新たな再定式化を提供する。
• 結果として、特異点の位相的型（特に抽象的リンク）が、Nash写像の像を決定することが示された。
• 基本体上定義されたウェッジの使用により、Lejeune-JalabertおよびRegueraによる先行研究を改善した、Nash写像の像の洗練された内挿的特徴付けが得られた。