[論文レビュー] Nature and Measure of Entanglement in Quantum Phase Transitions

Rolando D. Somma, Gerardo Ortíz+3 more|CERN Bulletin|Mar 4, 2004

Quantum Information and Cryptography被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、量子相転移（QPT）における一般化された量子もつれを定量化するため、Lie代数に基づく量子純粋性の測度を導入する。この手法は、Lipkin-Meshkov-Glick（LMG）模型および異方的XY模型における臨界点の同定に有効であることが示された。局所的観測量とフェルミオン的変換を用いることで、標準的なキュービットベースのもつれ測度よりも正確にQPTを捉えることができるグローバルな不規則パラメータが明らかになった。

ABSTRACT

Characterizing and quantifying quantum correlations in states of many-particle systems is at the core of a full understanding of phase transitions in matter. In this work, we continue our investigation of the notion of generalized entanglement [Barnum et al. Phys. Rev. A 68, 032308 (2003)] by focusing on a simple Lie-algebraic measure of purity of a quantum state relative to an observable set. For the algebra of local observables on multi-qubit systems, the resulting local purity measure is equivalent to a recently introduced global entanglement measure [Meyer and Wallach, J. Math. Phys. 43, 4273 (2002)]. In the condensed-matter setting, the notion of Lie-algebraic purity is exploited to identify and characterize the quantum phase transitions present in two exactly solvable models: the Lipkin-Meshkov-Glick model, and the spin-1/2 anisotropic XY model in a transverse magnetic field. For the latter, we argue that a natural fermionic observable-set arising after the Jordan-Wigner transformation, better characterizes the transition than alternative measures based on qubits. This illustrates the usefulness of going beyond the standard subsystem-based framework while providing a global disorder parameter for this model. Our results show how generalized entanglement leads to useful tools for distinguishing between the ordered and disordered phases in the case of broken symmetry quantum phase transitions. Additional implications and possible extensions of concepts to other systems of interest in condensed matter physics are also discussed.

研究の動機と目的

• サブシステムに基づくフレームワークを超えた、Lie代数的純粋性に依存する一般化されたもつれ測度の開発。
• この新しい測度を用いて、正確に解けるモデルにおける量子相転移の特徴づけ。
• ジョルダン＝ウィグナー変換後のフェルミオン的観測量が、キュービットベースの測度よりも臨界行動をよりよく捉えることの実証。
• 代数的純粋性測度を用いてXY模型のグローバル不規則パラメータの同定。
• 一般化されたもつれが、対称性が破れたQPTにおける秩序状態と無秩序状態を区別できることの示唆。

提案手法

• 局所的観測量のLie代数への密度行列の射影の二乗のトレースとして、Lie代数的純粋性測度を定義する。
• 多キュービット系における局所的SU(2)代数に適用し、MeyerとWallachのグローバルもつれ測度と等価であることを示す。
• ジョルダン＝ウィグナー変換を用いてスピン1/2系をフェルミオン的演算子に写像し、自然なフェルミオン的観測量集合を可能にする。
• 局所代数 $ \mathfrak{h}_{\text{loc}} = \bigoplus_{j=1}^N \mathfrak{su}(2)_j $ に関する純粋性を計算し、グローバルもつれ測度 $ Q(|\psi\rangle) = 1 - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N (\langle\sigma_x^j\rangle^2 + \langle\sigma_y^j\rangle^2 + \langle\sigma_z^j\rangle^2) $ を得る。
• LMG模型の熱力学的極限を、強度的な集団演算子を用いて分析し、古典的近似を正当化する。
• LMG模型およびXY模型の両方において、臨界点における純粋性測度の振る舞いを比較し、相転移の検出を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie代数的純粋性測度は、量子相転移のための頑健なグローバルもつれ定量測定として機能できるか？
• RQ2 ジョルダン＝ウィグナー変換後のフェルミオン的観測量集合は、キュービットベースの測度と比較して、XY模型における臨界性の検出をどのように向上させるか？
• RQ3 一般化されたもつれ測度は、対称性が破れた系において秩序状態と無秩序状態を区別できるか？
• RQ4 LMG模型およびXY模型の量子臨界点付近でのもつれ測度の振る舞いはいかなるものか？
• RQ5 LMG模型の古典的極限は、純粋性測度の観点から、量子臨界行動を一貫して解釈するために使用可能か？

主な発見

• Lie代数的純粋性測度 $ P_{\mathfrak{h}}(|\psi\rangle) $ は、多キュービット系においてMeyerとWallachのグローバルもつれ測度と等価である。
• 異方的XY模型において、ジョルダン＝ウィグナー変換後のフェルミオン的観測量集合は、キュービットベースの測度よりも量子相転移の特徴づけをよりよく行う。
• 測度 $ Q(|\psi\rangle) = 1 - \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N (\langle\sigma_x^j\rangle^2 + \langle\sigma_y^j\rangle^2 + \langle\sigma_z^j\rangle^2) $ は、XY模型のグローバル不規則パラメータとして機能する。
• 熱力学的極限において、LMG模型の基底状態は古典的角運動量に類似しており、強度的な演算子および半古典的解析の使用を正当化する。
• 純粋性測度は、LMG模型およびXY模型の両方において、$ Q(|\psi\rangle) $ の値の急激な変化を示すことにより、量子臨界点を検出する。
• 代数的純粋性を用いて定義される一般化されたもつれは、対称性が破れた量子相転移における秩序状態と無秩序状態を成功裏に区別する。