[論文レビュー] Nearly Linear-Work Algorithms for Mixed Packing/Covering and Facility-Location Linear Programs

Neal E. Young|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、混合パッキング/カーリング線形計画法および分数型施設配置問題に対する、初めてのほぼ線形時間かつほぼ線形作業量の並列アルゴリズムを提示する。制約行列における非ゼロ要素数を$N$とすると、$(1+\epsilon)$-近似解が$\widetilde{O}(N/\epsilon^2)$の時間と作業量で達成される。アプローチは、滑らかなペナルティ関数に従う、適応的で非一様な増分を用いた、新しいラグランジュ緩和フレームワークを用いる。

ABSTRACT

We describe the first nearly linear-time approximation algorithms for explicitly given mixed packing/covering linear programs, and for (non-metric) fractional facility location. We also describe the first parallel algorithms requiring only near-linear total work and finishing in polylog time. The algorithms compute $(1+ε)$-approximate solutions in time (and work) $O^*(N/ε^2)$, where $N$ is the number of non-zeros in the constraint matrix. For facility location, $N$ is the number of eligible client/facility pairs.

研究の動機と目的

• 明示的に与えられた混合パッキング/カーリング線形計画法のための、初めてのほぼ線形時間の近似アルゴリズムを開発すること。
• これらの問題のための、初めての並列アルゴリズムを設計し、ほぼ線形の総作業量と多項式対数時間の性能を達成すること。
• 非メトリックな分数型施設配置問題に対しても、ほぼ線形の作業量と時間の効率を拡張すること。
• NP困難問題の近似アルゴリズムにおけるLPの解法のボトルネックを克服し、$\epsilon$と入力サイズ$N$に対してほぼ最適な依存関係を達成すること。
• ビッグデータおよびマルチプロセッサ環境における大規模最適化のスケーラブルで高並列性を持つ解決策を可能にすること。

提案手法

• アルゴリズムは、パッキングおよびカーリング制約を統合する滑らかなペナルティ関数$\phi(x)$を維持するラグランジュ緩和フレームワークを用いる。
• $\phi(x)$の勾配に従う方向に変数を更新することで、解を段階的に改善し、信頼領域内での収束を保証する。
• 混合パッキング/カーリング問題では、ペナルティ関数が$\phi(x) \approx \log\left(\sum_i (1+\epsilon)^{P_i x} \cdot \sum_i (1-\epsilon)^{C_i x}\right)$として設計される。
• 施設配置問題では、問題をカーリングLPに再定式化し、適応的スケーリングを用いたラグランジュ緩和の特殊な変種を適用する。
• 現在の解と制約違反に依存する非一様で適応的な増分を用いることで、収束速度を向上させる。
• 更新をプロセッサ間で分散させることでアルゴリズムを並列化し、イテレーション回数とデータ依存関係の詳細な解析を通じて、作業量と実行時間の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合パッキング/カーリング線形計画法に対して、$(1+\epsilon)$-近似解が得られるほぼ線形時間のアルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 このようなアルゴリズムを、ほぼ線形の総作業量と多項式対数時間の性能を達成する高並列性を持つようにできるか？
• RQ3 同じアプローチを非メトリックな分数型施設配置問題に拡張できるか？
• RQ4 ほぼ線形の作業量と時間の効率を維持しつつ、$\epsilon$に$1/\epsilon^2$の依存関係を保てるか？
• RQ5 標準的なセットカバー再定式化では生じる問題サイズの非線形的増大を回避できるか？

主な発見

• 本稿では、制約行列における非ゼロ要素数を$N$とすると、混合パッキング/カーリングLPの$(1+\epsilon)$-近似解が$O(N \log m / \epsilon^2)$の時間で達成される。
• 混合パッキング/カーリング問題の並列アルゴリズムは、$O(N \log m \cdot \log(n \log m / \epsilon) / \epsilon^2)$の作業量で実行され、$O(\log N \cdot \log^2 m \cdot \log(n \log m / \epsilon) / \epsilon^4)$の時間で実行される。
• 分数型施設配置問題では、逐次アルゴリズムは$O(N \log m / \epsilon^2)$の時間で実行され、並列版は$O(N \log N \cdot \log m / \epsilon^2)$の作業量で多項式対数時間で実行される。
• 標準的なセットカバー再定式化に依存しないことで、問題サイズの非線形的増大を回避する。
• ラグランジュ緩和フレームワークのおかげで、反復ソルバーと同様に数値的安定性とスパarsityの維持が保証される。
• 他のパラメータに比べて非線形的依存関係を示す先行研究よりも、$1/\epsilon^2$のほぼ最適な依存関係を達成する。