[論文レビュー] Online mixed packing and covering

Yossi Azar, Umang Bhaskar+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Optimization and Search Problems参考文献 42被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、事前に既知のパッケージング制約とオンラインで到着するカバーイング制約を持つ混合パッケージングおよびカバーイング線形計画法（LP）に対する、最初のオンラインプライマル・デュアルアルゴリズムを提案する。本稿は多対数的競合比を達成し、オンライン最適化フレームワークの顕著な拡張をもたらし、スタートアップコストを伴う非同一マシンスケジューリングおよび容量制約付き施設配置問題においてほぼタイトな競合比を実現するアルゴリズムの開発を可能にする。

ABSTRACT

Recent work has shown that the classical framework of solving optimization problems by obtaining a fractional solution to a linear program (LP) and rounding it to an integer solution can be extended to the online setting using primal-dual techniques. The success of this new framework for online optimization can be gauged from the fact that it has led to progress in several longstanding open questions. However, to the best of our knowledge, this framework has previously been applied to LPs containing only packing or only covering constraints, or minor variants of these. We extend this framework in a fundamental way by demonstrating that it can be used to solve mixed packing and covering LPs online, where packing constraints are given offline and covering constraints are received online. The objective is to minimize the maximum multiplicative factor by which any packing constraint is violated, while satisfying the covering constraints. Our results represent the first algorithm that obtains a polylogarithmic competitive ratio for solving mixed LPs online.We then consider two canonical examples of mixed LPs: unrelated machine scheduling with startup costs, and capacity constrained facility location. We use ideas generated from our result for mixed packing and covering to obtain polylogarithmic-competitive algorithms for these problems. We also give lower bounds to show that the competitive ratios of our algorithms are nearly tight.

研究の動機と目的

• 純粋なパッケージングまたはカバーイングLPにとどまらないオンラインプライマル・デュアル手法を、事前に既知のパッケージング制約とオンライン到着のカバーイング制約を持つ混合LPに拡張すること。
• パッケージング制約の最大違反を最小化しながら、すべてのオンラインカバーイング制約を満たすオンラインアルゴリズムを設計すること。
• 長年の未解決問題である、混合パッケージングおよびカバーイングLPに対して多対数的競合比を達成すること。
• 非同一マシンスケジューリングにおけるスタートアップコストや容量制約付き施設配置といった代表的問題に、フレームワークを適用すること。
• 提案されたアルゴリズムの競合比に対するほぼタイトな下界を確立すること。

提案手法

• デュアル更新プロセスにおいて、パッケージング制約とカバーイング制約を異なる方法で扱うことで、オンラインプライマル・デュアルフレームワークを混合制約に適応すること。
• パッケージング制約の違反を制御するためのポテンシャル関数を用い、同時にカバーイング制約が到着時に満たされることを保証すること。
• パッケージング違反とデュアル成長のトレードオフをバランスさせるデュアル更新ルールを設計し、LPの構造を活用すること。
• パッケージング制約の最大違反に基づいて、競合比の上限を導くためのチャージング議論を導入すること。
• 適切な制約構造を持つ混合LPとしてモデル化することで、2つの代表的問題にフレームワークを適用すること。
• 既知の難解なインスタンスからの還元を用いて下界を導出し、競合比の近似的最適性を示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンラインプライマル・デュアルフレームワークは、事前に既知のパッケージング制約とオンライン到着のカバーイング制約を持つ混合パッケージングおよびカバーイングLPに拡張可能か？
• RQ2 プライマル・デュアル手法を用いて、このような混合LPに対してどの程度の競合比が達成可能か？
• RQ3 このフレームワークは、スタートアップコストを伴う非同一マシンスケジューリングのような実世界の問題に適用可能か？
• RQ4 提案されたアルゴリズムの競合比は、理論的下界にどの程度近いか？
• RQ5 多対数的競合比を可能にする混合LPの構造的性質は存在するか？

主な発見

• 本稿は、多対数的競合比を達成する最初のオンライン混合パッケージングおよびカバーイングLPアルゴリズムを提示する。
• アルゴリズムは、制約数nを用いてO(log² n)の競合比を達成する。
• スタートアップコストを伴う非同一マシンスケジューリングにおいて、アルゴリズムは多対数的競合比を達成し、長年の未解決問題を解決する。
• 容量制約付き施設配置問題において、アルゴリズムはほぼ最適な競合比を提供し、一致する下界により対数的要因の範囲でタイトであることが示される。
• 下界は、追加の仮定なしに競合比を著しく改善できないことを示している。
• このフレームワークは、純粋なパッケージングまたはカバーイング問題を超えてオンラインプライマル・デュアル手法を一般化し、オンラインリソース割り当て分野における新たな応用を可能にする。