[論文レビュー] Necklace Lie algebras and noncommutative symplectic geometry

Raf Bocklandt, Lieven Le Bruyn|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換シンプレクティック幾何とハイパーカレル幾何を用いて、変形された前射影的代数から生じるネックテイス・リー代数の共軛軌道と、表現空間の滑らかな商多様体との間の対応を確立する。主な結果は、これらの商多様体が共軌道であるための必要十分条件を特定することである：すなわち、安定表現の次元ベクトルの集合において、それが最小の非ゼロベクトルである場合に限る。これにより、モジュライ空間の幾何とカイリー滑らか代数、およびネックテイス・リー代数構造が結びつけられる。

ABSTRACT

Recently V. Ginzburg proved that Calogero phase space is a coadjoint orbit for some infinite dimensional Lie algebra coming from noncommutative symplectic geometry. In this note we generalize this argument to specific quotient varieties of representations of (deformed) preprojective algebras. This result was also obtained independently by V. Ginzburg.

研究の動機と目的

• 変形された前射影的代数の表現の商多様体について、V. ギンツブルグによるコラージョ位相空間が共軌道であるという結果を一般化すること。
• すべてのペア $(\alpha, \lambda)$ について、商多様体 $\mathrm{iss}_\alpha \Pi_\lambda$ がネックテイス・リー代数 $\mathbb{N}_Q$ の共軌道であるための組合せ的特徴づけを提供すること。
• モジュライ空間 $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ に関連するカイリー滑らか代数の存在と、共軌道との間の関係を確立すること。

提案手法

• Crawley-Boevey および Holland の変形された前射影的代数の表現に関する結果を用いて、$\mathrm{iss}_\alpha \Pi_\lambda$ を商多様体としての構造を分析する。
• ハイパーカレル対応を適用して、モジュライ空間 $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ の次元と表現空間 $\mathrm{rep}_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ の次元を関連付ける。
• ルーナのスライス定理を用いて、$\lambda$-安定表現における $\mathrm{rep}_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ のエタール局所構造を分析し、多様体が滑らかになる条件を同定する。
• 次元公式 $\dim \mathrm{rep}_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda) = 1 + \alpha.\alpha - T_Q(\alpha,\alpha)$ を用いて、正規空間の次元が滑らかさの期待次元と一致する条件を特定する。
• ハイパーカレル対応を介して、$\mathcal{A}_{\lambda,\alpha}$ が $\alpha$-カイリー滑らか代数の層であることと、$\alpha$ が $\Sigma_\lambda$ における最小の非ゼロベクトルであることの同値性を確立する。
• $\underline{rep}_{2\alpha} \Pi_\lambda$ が $2\alpha \in \Sigma_\lambda$ のとき滑らかでないことを、ルーナのスライス定理による次元数の矛盾を用いて示し、$\Pi_\lambda$ が形式的に滑らかでないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの次元ベクトル $\alpha$ とパラメータ $\lambda$ に対して、商多様体 $\mathrm{iss}_\alpha \Pi_\lambda$ がネックテイス・リー代数 $\mathbb{N}_Q$ の共軌道となるか？
• RQ2 モジュライ空間 $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ が滑らかになる条件は何か？ そしてこれは表現の安定性とどのように関係するか？
• RQ3 $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ 上の層 $\mathcal{A}_{\lambda,\alpha}$ が $\alpha$-カイリー滑らか代数となるのはいつか？
• RQ4 $\Sigma_\lambda$ 内の最小の非ゼロベクトルと、表現多様体 $\mathrm{rep}_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ の滑らかさの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $\underline{rep}_{2\alpha} \Pi_\lambda$ の非滑らか性は、ルーナのスライス定理における次元の不一致を用いて示せるか？

主な発見

• 商多様体 $\mathrm{iss}_\alpha \Pi_\lambda$ がネックテイス・リー代数 $\mathbb{N}_Q$ の共軌道であるための必要十分条件は、$\alpha$ が $\Sigma_\lambda$ における最小の非ゼロベクトルであることである。
• モジュライ空間 $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ が滑らかであるための必要十分条件は、$\alpha$ が $\Sigma_\lambda$ における最小の非ゼロベクトルであることであり、これによりすべての $\alpha$-次元の $\lambda$-半安定表現が $\lambda$-安定であることが保証される。
• $\mathcal{A}_{\lambda,\alpha}$ が $M_\alpha^{ss}(\Pi_0, \lambda)$ 上の $\alpha$-カイリー滑らか代数の層であるための必要十分条件は、$\alpha$ が $\Sigma_\lambda$ における最小の非ゼロベクトルであることである。これにより、カイリー滑らか性の幾何的基準が確立される。
• $\underline{rep}_{2\alpha} \Pi_\lambda$ は、$2\alpha \in \Sigma_\lambda$ である限り、滑らかでない。これは、ルーナのスライス定理による次元数の矛盾から示される。
• $\lambda$-安定表現 $V = S_1^{\oplus e_1} \oplus \cdots \oplus S_r^{\oplus e_r}$ における $GL(\alpha)$-軌道の正規空間の次元は $2\sum e_i - T_Q(\alpha,\alpha)$ であり、これは $r=1$ かつ $e_1=1$、つまり $V$ が単純である場合にのみ期待次元と一致する。
• $\alpha$ を次元ベクトルとする単純表現 $S$ における局所クワイバーは $2 - T_Q(\alpha, \alpha)$ 個のループを持ち、この構造が $\mathrm{iss}_\alpha \Pi_\lambda$ の局所幾何を決定する。