[論文レビュー] Negative curvature of automorphism groups of graph products with applications to right-angled Artin groups

Anthony Genevois|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、群のグラフ $\Gamma \mathcal{G}$ の積グラフ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ を導入し、$\Gamma \mathcal{G}$ が直和でない限り、それが Gromov-双曲的かつ非有界であることを証明する。$\Gamma \mathcal{G}$ が $P(\Gamma, \mathcal{G})$ に作用するとき、その作用は非退化的であり、$\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ に拡張可能である。これにより、2つ以上の頂点を持つ有限で連結で平方自由かつ非結合的単体的グラフ $\Gamma$ に対して、$\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ が非退化的双曲的であることが示される。

ABSTRACT

Given a (freely irreducible) product graph of groups $\Gamma \mathcal{G}$, we introduce and study its \emph{product graph} $P(\Gamma, \mathcal{G})$, defined as the graph whose vertices are the maximal product subgroups of $\Gamma \mathcal{G}$ and whose edges link two subgroups when they intersect non-trivially. One shows that: $(i)$ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ is a Gromov-hyperbolic graph which is unbounded whenever $\Gamma \mathcal{G}$ is not a direct sum, $(ii)$ the action $\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ satisfies a condition of acylindricity and induces a natural Nielsen-Thurston classification of the elements of $\Gamma \mathcal{G}$, $(iii)$ and this action naturally extends to an action of the automorphism group $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$. By looking for WPD isometries in the automorphism group, we prove that, if $\Gamma$ is a finite, connected and square-free simplicial graph which does not decompose as a join and contains at least two vertices, then the automorphism group $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ of the right-angled Artin group $A_\Gamma$ turns out to be acylindrically hyperbolic. Applications to the geometry of cyclic extensions of right-angled Artin groups are also included.

研究の動機と目的

• グラフ積の自己同型群を分析するための道具として、$P(\Gamma, \mathcal{G})$ を定義し、その性質を研究すること。
• $\Gamma \mathcal{G}$ が $P(\Gamma, \mathcal{G})$ に作用するときの双曲的性と非退化的性を確立すること。
• $\Gamma \mathcal{G}$ の作用を $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ に拡張し、ニールセン＝ターフォン理論を用いて要素を分類すること。
• $\Gamma$ が有限で連結で平方自由かつ非結合的であるという特定の位相的制約を満たす右側アーティン群 $A_\Gamma$ に対して、$\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ が非退化的双曲的であることを証明すること。

提案手法

• $P(\Gamma, \mathcal{G})$ を、$\Gamma \mathcal{G}$ の最大の積部分群に対応する頂点を持ち、非自明な交わりを持つ部分群同士を辺で結ぶグラフとして定義する。
• $\Gamma \mathcal{G}$ が直和でない限り、$P(\Gamma, \mathcal{G})$ が Gromov-双曲的かつ非有界であることを証明する。
• 安定化部分群と準等軸の一様性を分析することで、$\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ の作用が非退化的であることを示す。
• $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ への作用を、自己同型を最大の積部分群の置換に引き上げることで拡張する。
• $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上で $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ が WPD 等長変換をもつことを利用して、非退化的双曲的性を導く。
• 右側アーティン群 $A_\Gamma$ に理論を適用する際には、$\Gamma$ における条件を満たすかを検証し、必要な双曲的性と非退化的性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群のグラフの自己同型群がいつ非退化的双曲的であるか。
• RQ2 積グラフ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ は、$\Gamma \mathcal{G}$ の幾何的・力学的性質をどのように符号化するか。
• RQ3 $\Gamma \mathcal{G}$ が $P(\Gamma, \mathcal{G})$ に作用するとき、その作用を $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ に拡張できるか。
• RQ4 WPD 等長変換は、$\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ の非退化的双曲的性を確立するために果たす役割は何か。
• RQ5 $\Gamma$ の位相的性質（有限性、連結性、平方自由性、非結合性）は、$\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ の構造にどのように影響するか。

主な発見

• $\Gamma \mathcal{G}$ が直和でない限り、積グラフ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ は Gromov-双曲的かつ非有界である。
• $\Gamma \mathcal{G} \curvearrowright P(\Gamma, \mathcal{G})$ の作用は非退化的であり、点のペアの安定化部分群に関する一様性条件を満たす。
• 作用は自然に $\mathrm{Aut}(\Gamma \mathcal{G})$ への作用に拡張され、グラフ構造を保存する。
• 2つ以上の頂点を持つ有限で連結で平方自由かつ非結合的単体的グラフ $\Gamma$ に対して、$\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ は非退化的双曲的である。
• $P(\Gamma, \mathcal{G})$ 上で $\mathrm{Aut}(A_\Gamma)$ が WPD 等長変換をもつことにより、自己同型群の非退化的双曲的性が裏付けられる。
• 積グラフ $P(\Gamma, \mathcal{G})$ の幾何的構造と自己同型群の力学的性質から、右側アーティン群の巡回拡張への応用が得られる。