[論文レビュー] Nested Punctual Hilbert Schemes and Commuting Varieties of Parabolic Subalgebras

Michaël Bulois, Laurent Evain|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 25被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、$M_n({\boldsymbol{k}})$ のパラボリック部分代数 $\mathfrak{p}_{k,n}$ における可換な代数の多様体とネストされた点的ヒルベルトスキームの間の幾何的関係を確立し、巡回ベクトルの構成と軌道分解を用いて、これらのモジュライ空間の既約性および次元を解析できることを示している。$S^{[2,n]}_0$、$S^{[n-2,n]}_0$、および $S^{[\![n-2,n]\!]}_0$ は次元 $n-1$ の等次元的で、ちょうど $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ 個の既約成分を持つことが示された。

ABSTRACT

It is known that the variety parametrizing pairs of commuting nilpotent matrices is irreducible and that this provides a proof of the irreducibility of the punctual Hilbert scheme in the plane. We extend this link to the nilpotent commuting variety of parabolic subalgebras of $M\_n(\K)$ and to the punctual nested Hilbert scheme. By this method, we obtain a lower bound on the dimension of these moduli spaces. We characterize the numerical conditions under which they are irreducible. In some reducible cases, we describe the irreducible components and their dimension.

研究の動機と目的

• 可換行列とヒルベルトスキームの既知の関係をネストされた場合および点的の場合に拡張すること。
• パラボリック部分代数 $\mathfrak{p}_{k,n} \subset M_n(\boldsymbol{k})$ に対するノルム可換多様体 $\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{k,n})$ の既約性および次元を分析すること。
• $\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{k,n})$ および $\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{k,n})$ の既約成分を軌道分解と巡回ベクトル条件を用いて特徴付けること。
• 巡回ベクトルを通じて可換多様体とネストされたヒルベルトスキームを結ぶ幾何的商の構成を確立すること。
• $S^{[2,n]}_0$、$S^{[n-2,n]}_0$、および $S^{[\![n-2,n]\!]}_0$ の既約成分の数および次元を特定すること。

提案手法

• 巡回ベクトルを用いて、共役変換によるパラメトライゼーションを施した幾何的商 $\widetilde{\mathcal{N}}^{\text{cyc}}(\mathfrak{p}_{k,n})/P_{k,n}$ および $\widetilde{\mathcal{N}}^{\text{cyc}}(\mathfrak{q}_{k,n})/Q_{k,n}$ を構成する。
• ヒルベルトスキームのファンクター的定義とその代表可能性を用いて、次元0のスキームと可換行列対を関連付ける。
• 非再帰的群作用に対しても、ムムフォードの幾何的不変量理論を適用して商を構成する。
• 組合せ的データ $\boldsymbol{\mu} \in \mathcal{P}^{\prime\prime}(n)$ で $c_{\boldsymbol{\mu}} = 1$ を満たすものにより、$\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{2,n})$ の軌道を分類し、軌道型と成分の次元を関連付ける。
• $\mathfrak{p}_{2,n}$ に属するすべての対が $\mathfrak{q}_{2,n}$ に共役であることを示し、$\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{2,n})$ の研究を $\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{2,n})$ に還元する。
• $S^{[\![n-2,n]\!]}_0 \to S^{[n-2,n]}_0$ への全射的準同型を用いて、成分数の上限を設定し、等次元性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラボリック部分代数 $\mathfrak{p}_{k,n} \subset M_n(\boldsymbol{k})$ に対して、ノルム可換多様体 $\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{k,n})$ がいつ既約になるか。
• RQ2 ネストされた点的ヒルベルトスキーム $S^{[2,n]}_0$ の既約成分の次元は何か。
• RQ3 $S^{[2,n]}_0$ はいくつの既約成分を持ち、それらの幾何的構造は何か。
• RQ4 $\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{2,n})$ の等次元性は、$\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{2,n})$ の構造と軌道分解からどのように導けるか。
• RQ5 巡回ベクトルは、可換多様体とヒルベルトスキームの間の幾何的商の構成において果たす役割は何か。

主な発見

• ネストされた点的ヒルベルトスキーム $S^{[2,n]}_0$、$S^{[n-2,n]}_0$、および $S^{[\![n-2,n]\!]}_0$ は次元 $n-1$ の等次元的で、それぞれがちょうど $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ 個の既約成分を持つ。
• これらのスキームは、$c_{\boldsymbol{\mu}} = 1$ を満たすノルム可換対の組合せ的型に対応する。
• $\mathcal{N}(\mathfrak{p}_{2,n})$ の既約成分は、$\boldsymbol{\mu} \in \mathcal{P}^{\prime\prime}(n)$ で $c_{\boldsymbol{\mu}} = 1$ を満たすものと一対一対応し、すべての次元は $\dim \mathfrak{p}_{2,n} - 1$ である。
• $\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{2,n})$ は $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor$ 個の既約成分を持ち、それぞれの次元は $\dim \mathfrak{q}_{2,n} - 1$ である。また、写像 $\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{2,n}) \to \mathcal{N}(\mathfrak{p}_{2,n})$ は成分集合に全射を誘導する。
• 巡回ベクトルによる幾何的商の構成により、$\widetilde{\mathcal{N}}^{\text{cyc}}(\mathfrak{p}_{k,n})/P_{k,n}$ および $\widetilde{\mathcal{N}}^{\text{cyc}}(\mathfrak{q}_{k,n})/Q_{k,n}$ は正しく定義されており、それぞれのネストされたヒルベルトスキームと同型である。
• $n \geq 6$ のとき、ボレル型 $\mathfrak{q}_{n,n}$ は連続的な軌道族を許容し、$\mathcal{N}(\mathfrak{q}_{n,n})$ は等次元的でないが、これは $\mathfrak{p}_{2,n}$ では発生しない。