[論文レビュー] Network, Cluster coordinates and N=2 theory I

Dan Xie|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 45被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、6次元 (2,0) 理論を compactification することによって得られる高ランク $σ=2$ 理論の Coulomb 分岐を記述する、穴あきリーマン面への平坦接続のモジュライ空間に対して、組合せ的枠組みを用いてクラスター座標を構成する。三角形分割により表面を分割し、各三角形を brane の構成を用いてタイル張りし、双極的ネットワークを構築することで、自己双対性（Seiberg duality）を記述するクワイバーが得られる。主な結果は、すべての穴あき点が高さ >1 の列をたかだか1つずつ持つ場合、クワイバーが三角形分割や穴あき点の巡回順序に依存しないことであり、非フルな穴あき点に対しても一貫したクラスター座標が得られることを示している。

ABSTRACT

Combinatorial methods are developed to find the cluster coordinates for moduli space of flat connections which is describing the Coulomb branch of higher rank N=2 theories derived by compactifying six dimensional (2,0) theory on a punctured Riemann surface. The construction starts with a triangulation of the punctured Riemann surface and a further tessellation of all the triangles. The tessellation is used to construct a bipartite network from which a quiver can be read straightforwardly. We prove that the quivers for different triangulations are related by quiver mutations and justify that these are really the cluster coordinates. These coordinates are important in studying BPS wall crossing, line operators, and surface operators of these theories; and they are also useful in exploring three dimensional Chern-Simons theory and the corresponding N=2 gauge theory, two dimensional integrable system, etc.}

研究の動機と目的

• SU(2) やフルな穴あき点に限られていたクラスター座標の構成を、非フルな穴あき点を含む高ランク $σ=2$ 理論へ拡張すること。
• ラグランジュ的記述を持つ一般の $σ=2$ 理論に対して、クラスター座標フレームワークが不足している問題を解決すること。
• 三角形分割のフリップや穴あき点の巡回順序の再配置に対して不変であるクワイバーに基づくクラスター座標系を確立すること。
• 高ランク $σ=2$ 理論における BPS スペクトル、線/表面オペレーター、および Chern-Simons 理論や可積分系との関係を系統的に研究するためのツールを提供すること。

提案手法

• 穴あきリーマン面の三角形分割を出発点とし、[28] のタイル張り規則を用いて、3つの穴あき点を持つ理論の brane 構成に基づき、各三角形をより小さな領域に分割する。
• 各タイル張り済み三角形上に双極的ネットワークを構築し、そこから向き付きのエッジとノードを持つクワイバーを直接読み取る。
• 隣接する三角形間で局所的なネットワークを接続し、全表面にわたるグローバルな双極的ネットワークを構築し、そのネットワークからグローバルクワイバーを導出する。
• 三角形分割のフリップによって誘導されるクワイバーの変異が Seiberg duality に対応することを証明し、すべての穴あき点が高さ >1 の列をたかだか1つずつ持つ場合、クワイバーが三角形分割や巡回順序に依存しないことを示す。
• ノードの次数がちょうど4本のエッジを持つノードに限って変異を行うように制限する。これにより一貫性が保たれ、制御不能なクワイバーの複雑さを回避でき、SU(2) の場合と類似する。
• 得られたクワイバーとクラスター座標を用いて、BPS スペクトル、線オペレーター、および量子ティヒミュラー理論、リウヴィル理論、可積分系との関係を研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非フルな穴あき点を含む高ランク $σ=2$ 理論に対して、系統的かつ一貫したクラスター座標を構成することは可能か？（これはラグランジュ的ゲージ理論にとって不可欠である。）
• RQ2 ネットワーク構成から得られるクワイバーは、三角形分割のフリップや穴あき点の巡回順序の再配置に対して不変であるか？ その条件は何か？
• RQ3 クラスター座標およびその変異は、高ランク $σ=2$ 理論における BPS スペクトルの計算とウォールクロッシング現象とどのように関係するか？
• RQ4 同様の枠組みを用いて、SU(2) 理論で知られている結果（例：クワイバーの変異による BPS スペクトルの計算、スーパーポテンシャルの構成）を高ランクの場合に一般化できるか？
• RQ5 4本のエッジを持つノードへのみ制限された変異ルールが、一貫性の維持と、量子ティヒミュラー理論や可積分系への応用を可能にする役割は何か？

主な発見

• 双極的ネットワークから得られるクワイバーは、すべての穴あき点が高さ >1 の列をたかだか1つずつ持つ場合、三角形分割のフリップや穴あき点の巡回順序の再配置に対して不変である。
• この方法で得られるクラスター座標は、三角形分割や巡回順序の選択に依存せず、このような穴あき点構成に対して、モジュライ空間の一意的かつ一貫した記述が可能である。
• クワイバーの変異は Seiberg duality に対応し、4本のエッジを持つノードへのみ制限された変異ルールにより、一貫性が保たれ、制御不能な複雑さが回避される。
• 本手法により、SU(2) クラスター座標フレームワークが高ランク理論へ一般化され、非フルな穴あき点を含む場合の BPS スペクトル、線オペレーター、表面障害の研究が可能になる。
• ネットワーク上の黒丸とジグザグループからスーパーポテンシャルを構成でき、これは既知の SU(2) 結果と整合的であり、高ランク理論へも拡張可能である。
• クラスター座標は、量子高ランクティヒミュラー理論が Toda 理論と同型であると期待され、SU(2) の場合に量子ティヒミュラー理論がリウヴィル理論と同型であるという事実を一般化する。