[論文レビュー] Gauge Theories Labelled by Three-Manifolds

Tudor Dimofte, Davide Gaiotto+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用数 39

ひとこと要約

本稿は、三角形分割された3次元多様体と3次元 $σ=2$ ゲージ理論の間に双対性を提案する。ここで、多様体の各単体は基本的な3次元 $σ=2$ SCFTに対応し、貼り合わせの規則によって異なる三角形分割間での整合性が保たれる。主な結果は、3次元多様体の不変量（例：$SL(2)$ チャーン・サイモンズの分配関数）が、鏡像双対な3次元 $σ=2$ 理論の $S^3_b$ 分配関数に対応することであり、これは関手的かつコボルディズム不変な対応関係を確立する。

ABSTRACT

We propose a dictionary between geometry of triangulated 3-manifolds and physics of three-dimensional N=2 gauge theories. Under this duality, standard operations on triangulated 3-manifolds and various invariants thereof (classical as well as quantum) find a natural interpretation in field theory. For example, independence of the SL(2) Chern-Simons partition function on the choice of triangulation translates to a statement that S^3_b partition functions of two mirror 3d N=2 gauge theories are equal. Three-dimensional N=2 field theories associated to 3-manifolds can be thought of as theories that describe boundary conditions and duality walls in four-dimensional N=2 SCFTs, thus making the whole construction functorial with respect to cobordisms and gluing.

研究の動機と目的

• 3次元多様体と3次元 $σ=2$ スーパーレジリューレーション量子場理論との間の体系的対応を確立すること。
• 三角形分割された3次元多様体における幾何的操作（例：貼り合わせ、パッケル移動）を3次元 $σ=2$ 理論における物理的操作として解釈すること。
• 3次元多様体の不変量（例：$SL(2)$ チャーン・サイモンズの分配関数）が、鏡像双対理論における物理的観測量（例：$S^3_b$ 分配関数）に対応することを示すこと。
• 6次元 $(2,0)$ 理論の compactification から生じる3次元 $σ=2$ 理論に対して、関手的かつコボルディズムに適合するフレームワークを提供すること。

提案手法

• 3次元多様体 $M$ の三角形分割の各単体 $\Delta$ に、基本的な3次元 $σ=2$ SCFT $T_\Delta$ を割り当てる。
• 境界自由度の共有を通じて $T_\Delta$ を結合することで、全理論 $T_M$ を3次元 $σ=2$ 理論として定義する。
• 同じ3次元多様体の異なる三角形分割が同一のIR固定点理論をもたらすように制約を課し、パッケル移動における整合性を保証する。
• 異なる三角形分割間での等価性をテストするための主要な観測量として $S^3_b$ 分配関数を用い、$SL(2)$ チャーン・サイモンズの分配関数と結びつける。
• 6次元 $(2,0)$ 理論の compactification を通じて、3次元多様体上の線型演算子を4次元 $σ=2$ 理論における表面および線型演算子に結びつける。
• チャーン・サイモンズの分配関数の $q$-差分方程式構造を用い、4次元時空の境界上で演算子関係（例：$H \simeq e^{i\pi b^2 k} W^k$）を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元多様体の不変量は、どのように3次元 $σ=2$ ゲージ理論における物理的観測量として実現可能か？
• RQ2 3次元 $σ=2$ 理論の文脈において、パッケル移動の物理的解釈は何か？
• RQ3 3次元多様体 $M$ 上の線型演算子は、3次元 $σ=2$ 理論 $T_M$ の演算子とどのように対応するか？
• RQ4 鏡像双対性が $S^3_b$ 分配関数の三角形分割に依存しない性質を保証する役割は何か？
• RQ5 6次元 $(2,0)$ 理論を $M$ 上で compactification すると、幾何的起源を持つ3次元 $σ=2$ SCFT $T_M$ がどのように得られるか？

主な発見

• 3次元多様体 $M$ の3次元 $σ=2$ 理論 $T_M$ の $S^3_b$ 分配関数は、$M$ の異なる三角形分割に対して不変であり、$SL(2)$ チャーン・サイモンズの分配関数の三角形分割不変性に対応する。
• 3次元 $σ=2$ 理論 $T_M$ の分配関数は、$M$ 上の $SL(2)$ チャーン・サイモンズの分配関数と一致し、この位相的不変量の直接的な物理的実現を確立する。
• 分配関数を支配する $q$-差分方程式 $\left(e^{ib\partial_{\tilde{m}}}-e^{i\pi b^2 k+2\pi bk\tilde{m}}\right)\mathcal{Z}_{CS_k}=0$ は、チャーン・サイモンズレベル $k$ の3次元境界理論の性質を反映しており、't Hooft 型とウィルソン型の演算子の双対性を示している。
• 4次元時空の境界上で演算子関係 $H - e^{i\pi b^2 k} W^k \simeq 0$ が成り立つ。これは、磁束1単位の't Hooft 型演算子が、電荷 $k$ のウィルソン型演算子と等価であることを確認する。
• 多様体 $M$ 上の線型演算子は、4次元 $σ=2$ 理論における表面演算子間のインターフェースに対応し、4次元における2次元表面演算子とドメインウォールの交差から生じる。
• この構成はコボルディズムに関して関手的であり、境界を持つ3次元多様体が4次元 $σ=2$ SCFT におけるドメインウォールや境界条件に対応することを意味する。