[論文レビュー] Neutrality and Many-Valued Logics

Andrew Schumann, Florentín Smarandache|ArXiv.org|Jul 21, 2007

advanced mathematical theories参考文献 123被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非アーベルおよびp進数値の多値論理を、論理的中立性をモデル化する枠組みとして導入し、超実数とp進整数を用いてファジィ論理を拡張する。t-ノルムとハイパーシーケントを用いて無限多値系の解析的計算体系を構築し、非アーベルおよびp進数構造上での真、不定、偽の度合いを持つニュートロソフィック論理を提唱する。これは、標準的なファジィ論理および多値論理を一般化するものである。

ABSTRACT

In this book, we consider various many-valued logics: standard, linear, hyperbolic, parabolic, non-Archimedean, p-adic, interval, neutrosophic, etc. We survey also results which show the tree different proof-theoretic frameworks for many-valued logics, e.g. frameworks of the following deductive calculi: Hilbert's style, sequent, and hypersequent. We present a general way that allows to construct systematically analytic calculi for a large family of non-Archimedean many-valued logics: hyperrational-valued, hyperreal-valued, and p-adic valued logics characterized by a special format of semantics with an appropriate rejection of Archimedes' axiom. These logics are built as different extensions of standard many-valued logics (namely, Lukasiewicz's, Goedel's, Product, and Post's logics). The informal sense of Archimedes' axiom is that anything can be measured by a ruler. Also logical multiple-validity without Archimedes' axiom consists in that the set of truth values is infinite and it is not well-founded and well-ordered. On the base of non-Archimedean valued logics, we construct non-Archimedean valued interval neutrosophic logic INL by which we can describe neutrality phenomena.

研究の動機と目的

• 非アーベルおよびp進数値論理系を用いて論理的中立性を形式化し、伝統的な多値論理を拡張すること。
• Łウカシエヴィチ、ゲーデル、積（Product）t-ノルムに基づく無限多値論理のための解析的証明体系—ヒルベルト形式、シークエント、ハイパーシーケント計算体系—を構築すること。
• 基本的ファジィ論理BLを非アーベルおよびp進数値拡張に一般化し、新たな形式の真理関数的推論を可能にすること。
• 超実数とp進整数上での区間ニュートロソフィック論理を導入し、真、不定、偽の度合いを含むフレームワークを構築し、中立性現象を捉えること。
• 非アーベル構造、p進解析、ニュートロソフィック論理の間の正式な関係を確立し、中立性を扱う推論の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 超実数と超整数を用いて非アーベル数値論理を構築し、アーベルの公理を拒否することで無限小と無限に大きな数を含む真理値を可能にする。
• t-ノルムに基づく意味論を適用し、単位区間[0,1]に超数を拡張した上で、無限多値のŁウカシエヴィチ、ゲーデル、積論理を定義する。
• p進数のノルム|·|_pをℚ_pに適用し、真理値をp進整数環ℤ_pにとることで、離散的無限多値系をもつp進数値論理を定義する。
• ハイパーシーケント計算体系を無限多値論理に開発し、ゲンツェン形式のシークエントを一般化して解析的証明体系を支援する。
• 非アーベル構造とp進数値拡張を用いて、基本的ファジィ論理BLの拡張を構築し、剰余畳み込み半群と非アーベル構造を用いる。
• 三値真理度（t, i, f）を持つニュートロソフィック論理フレームワークを提唱し、各成分を超実数またはℤ_pにとることで、中立性のモデル化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルおよびp進数値真理構造を用いて、論理的中立性を形式的に捉える方法は何か？
• RQ2 Łウカシエヴィチ、ゲーデル、積t-ノルムに基づく無限多値論理が非アーベルおよびp進数ドメインに拡張された場合、その証明論的性質は何か？
• RQ3 基本的ファジィ論理BLを非アーベルおよびp進数値系に体系的に拡張することは可能か？その際、健全性と完全性が保たれるか？
• RQ4 p進数値論理は、標準的なファジィ論理と比べて、意味論的および証明論的構造においてどのように異なるか？
• RQ5 超実数とp進整数上での区間ニュートロソフィック論理は、標準的なファジィ論理およびニュートロソフィック論理をどのように一般化し、不確実性と中立性をモデル化するか？

主な発見

• 非アーベル数値論理は超実数と超整数を用いて構築され、真理値に無限小と無限に大きな数を含めることが可能になり、アーベルの公理が拒否される。
• p進数値論理はp進整数環ℤ_p上で定義され、非アーベル三角不等式を満たす離散的無限多値系をもたらす。
• 無限多値Łウカシエヴィチ、ゲーデル、積論理のためのハイパーシーケント計算体系が開発され、切断除去と完全性を満たす解析的証明体系が提供される。
• 非アーベルおよびp進数値拡張の基本的ファジィ論理BLが導入され、対応する行列論理およびBL代数などの代数的構造が非アーベル領域に拡張される。
• 超実数またはℤ_p上を動く真、不定、偽の度合いを持つ非アーベル数値区間ニュートロソフィック論理（INL）が構築され、中立性のモデル化が可能になる。
• 本稿は、ニュートロソフィック論理が非アーベルおよびp進数値論理を一般化し、中立性と不確実性を扱う推論の統一的枠組みとしてそれらを統合することを確立している。