[論文レビュー] New and Simplified Distributed Algorithms for Weighted All Pairs Shortest Paths

Udit Agarwal, Vijaya Ramachandran|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付きグラフにおけるすべての頂点対間最短経路（APSP）およびkソース最短経路を、Congestモデル下で決定的かつ確率的分散アルゴリズムを用いて計算する新しい手法を提示する。パイプライン化されたアルゴリズムを改善し、ブロッカー集合の計算を強化するとともに、重み変換を活用することで、$$n^{3/2}$$未満のラウンドで実現可能な高速なサブ-$$n^{3/2}$$ラウンド境界を達成した。具体的には、辺の重みがλ未満の場合のAPSPに対して$$\tilde{O}(\lambda^{1/4}n^{5/4})$$ラウンド、最短経路距離Δが有界な場合に$$\tilde{O}(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$ラウンドを達成した。また、ゼロ重み辺の処理と$$(1+\epsilon)$$-近似解法についても、$$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$ラウンドで実現可能である。

ABSTRACT

We consider the problem of computing all pairs shortest paths (APSP) and shortest paths for k sources in a weighted graph in the distributed CONGEST model. For graphs with non-negative integer edge weights (including zero weights) we build on a recent pipelined algorithm to obtain $ ilde{O}(λ^{1/4}\cdot n^{5/4})$ in graphs with non-negative integer edge-weight at most $λ$, and $ ilde{O}(n \cdot \bigtriangleup^{1/3})$ rounds for shortest path distances at most $\bigtriangleup$. Additionally, we simplify some of the procedures in the earlier APSP algorithms for non-negative edge weights in [HNS17,ARKP18]. We also present results for computing h-hop shortest paths and shortest paths from $k$ given sources. In other results, we present a randomized exact APSP algorithm for graphs with arbitrary edge weights that runs in $ ilde{O}(n^{4/3})$ rounds w.h.p. in n, which improves the previous best $ ilde{O}(n^{3/2})$ bound, which is deterministic. We also present an $ ilde{O}(n/ε^2)$-round deterministic $(1+ε)$ approximation algorithm for graphs with non-negative $poly(n)$ integer weights (including zero edge-weights), improving results in [Nanongkai14,LP15] that hold only for positive integer weights.

研究の動機と目的

• 非負整数辺重み（ゼロ重みを含む）を持つグラフにおける、APSPおよびkソース最短経路の高速な決定的分散アルゴリズムの設計。
• 特にゼロ重み辺を扱うことを念頭に、先行研究の確率的および決定的APSPアルゴリズムを簡素化・改善すること。
• 中程度の辺重みおよび最短経路距離制約下での、APSPのラウンド複雑性境界の向上。
• 正の重みの場合に達成可能な最良のラウンド複雑性を維持しつつ、ゼロ重み辺を許容する決定的$$(1+\epsilon)$$-近似APSPアルゴリズムの提示。
• 既存の確率的APSPアルゴリズムの主要部品（例：短距離および短距離拡張プロシージャ）を、より効率的かつ明確に再構成すること。

提案手法

• 有界な最短経路距離をもつ$$(h,k)$$-SSPに対する最近のパイプライン化アルゴリズムを活用し、APSPおよびk-SSPの改善された境界を導出する。
• APSPパイプラインの効率を向上させるために、洗練された決定的ブロッカー集合計算アルゴリズムを導入する。
• 重み変換戦略を適用：ゼロ重み辺を1に設定し、非ゼロ重みを$$n^2$$倍することで、正の重み近似アルゴリズムの適用を可能にする。
• 確率的アルゴリズムの両ステップで、$$h$$ラウンドのベルマン＝フォードを用い、通信オーバーヘッドを低減するため、サイズ$$\tilde{O}(\sqrt{n})$$のランダムなセンター集合を採用する。
• パイプライン化された最短経路伝搬と、中心からソースへの距離推定値の効率的ブロードキャストを組み合わせ、近似距離を計算する。
• 二段階アプローチを採用：まず$$O(n)$$ラウンドでゼロ重み経路による到達可能性を計算し、次に変換されたグラフ上で非ゼロ重み経路を近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負整数辺重み（ゼロ重みを含む）を持つグラフに対して、$$n^{3/2}$$未満のラウンドで決定的APSPを達成できるか？
• RQ2 黄らららら[8]の確率的APSPアルゴリズムを、より良いラウンド複雑性と明確さを実現するように、簡素化・最適化できるか？
• RQ3 正の重みの場合に最良のラウンド複雑性を維持しつつ、ゼロ重み辺を含むグラフに対しても$$(1+\epsilon)$$-近似APSPアルゴリズムを拡張可能か？
• RQ4 決定的分散APSP計算において、辺重みの大きさ、最短経路距離、ラウンド複雑性の最適なトレードオフは何か？
• RQ5 パイプライン化された最短経路アルゴリズムのパフォーマンスを向上させるために、ブロッカー集合計算をどのように最適化できるか？

主な発見

• 辺重みが$$\lambda$$未満のグラフに対して、決定的APSPのラウンド数が$$O(\lambda^{1/4} \cdot n^{5/4} \log^{1/2}n)$$に抑えられ、以前の$$\tilde{O}(n^{3/2})$$の境界を改善した。
• 最短経路距離が$$\Delta$$未満のグラフに対して、APSPアルゴリズムは$$O(n(\Delta \log^2 n)^{1/3})$$ラウンドで実行され、従来の決定的境界に比べて顕著な改善を達成した。
• 確率的正確APSPアルゴリズムを提示し、w.h.p.で$$\tilde{O}(n^{4/3})$$ラウンドの複雑性を達成した。これは、以前の最良の決定的境界$$\tilde{O}(n^{3/2})$$を上回る。
• 非負整数重み（ゼロを含む）のAPSPに対する決定的$$(1+\epsilon)$$-近似アルゴリズムは、$$\tilde{O}(n/\epsilon^2)$$ラウンドで実行され、正の重みの場合に達成可能な最良の境界と一致する。
• 黄らららら[8]の確率的APSPアルゴリズムの主要プロシージャ（特に短距離および短距離拡張）を、簡素化されたパイプライン化SSSP計算により、より効率的かつ明確に再構成した。
• APSPパイプラインフレームワーク全体の効率性向上に寄与する、改良されたブロッカー集合計算アルゴリズムを開発した。これにより、より良いラウンド複雑性境界が達成可能になった。