[論文レビュー] New Bounds for the Snake-in-the-Box Problem

David Allison, Daniël Paulusma|Durham Research Online (Durham University)|Mar 1, 2016

Optimization and Packing Problems参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、強化された確率的ビームサーチアルゴリズムを用いて、n次元ハイパーキューブにおけるSnake-in-the-BoxおよびCoil-in-the-Box問題の新たな下界を提示する。次元11、12、13について、長さの最大誘導パス（スネーク）の既知の下界が向上し、次元10から13について、長さの最大誘導サイクル（コイル）の下界が向上した。これにより、NP困難な組合せ最適化問題としての状態は著しく進展した。

ABSTRACT

The Snake-in-the-Box problem is that of finding a longest induced path in an $n$-dimensional hypercube. We prove new lower bounds for the values $n\in \{11,12,13\}$. The Coil-in-the-Box problem is that of finding a longest induced cycle in an $n$-dimensional hypercube. We prove new lower bounds for the values $n\in \{12,13\}$.

研究の動機と目的

• n ∈ {11,12,13} の場合、n次元ハイパーキューブにおける誘導パス（スネーク）の長さに関する既知の下界を向上させること。
• n ∈ {10,11,12,13} の場合、n次元ハイパーキューブにおける誘導サイクル（コイル）の長さに関する既知の下界を向上させること。
• n > 8 に対して未解決のままのNP困難なSnake-in-the-BoxおよびCoil-in-the-Box問題の研究状態を前進させること。
• 既存の研究に基づき、より高い性能を達成するための確率的ビームサーチヒューリスティックの適用と最適化を行うこと。

提案手法

• 著者は、ハイパーキューブ内の誘導パスおよびサイクルの探索空間を探索するため、修正された確率的ビームサーチアルゴリズム（ヒューリスティック探索手法）を採用する。
• Meyersonらの元の手法を改良した独自の変更を加え、詳細は近い将来に発表予定の論文に記載されている。
• 部分解を段階的に拡張しながら、誘導部分グラフの性質を保つように、長大な誘導パスおよびサイクルを構築することに焦点を当てる。
• 長さの長いパスおよびサイクルを優遇するフィットネス関数を用い、確率的選択と多様化を組み合わせることで、局所最適解に陥るのを回避する。
• 計算が高コストであるが、全探索を避けるため、高次元に対しても実行可能である。
• 結果は、新しい下界を満たすスネークおよびコイルの具体的な例の構築によって検証されており、付録に提示されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11次元ハイパーキューブにおける誘導パス（スネーク）の最大長は何か。また、既存の下界を超えることは可能か？
• RQ2 12次元ハイパーキューブにおける誘導パス（スネーク）の最大長は何か。また、新たな構築法によりより長いパスが得られるか？
• RQ3 13次元ハイパーキューブにおける誘導パス（スネーク）の最大長は何か。また、現在の下界2520を上回ることは可能か？
• RQ4 10次元ハイパーキューブにおける誘導サイクル（コイル）の最大長は何か。また、以前に知られていたものより長いサイクルが構築可能か？
• RQ5 ヒューリスティック探索手法を用いて、次元11、12、13における最大コイルの下界を向上させることは可能か？

主な発見

• 11次元ハイパーキューブにおいて、最大スネークの新しい下界は712に向上し、以前の最良値707を上回った。
• 12次元ハイパーキューブにおいて、最大スネークの新しい下界は1373に向上し、以前の最良値1302を上回った。
• 13次元ハイパーキューブにおいて、最大スネークの新しい下界は2687に向上し、以前の最良値2520を上回った。
• 10次元ハイパーキューブにおいて、最大コイルの新しい下界は366に向上し、以前の最良値362を上回った。
• 11次元ハイパーキューブにおいて、最大コイルの新しい下界は692に向上し、以前の最良値668を上回った。
• 13次元ハイパーキューブにおいて、最大コイルの新しい下界は2594に向上し、以前の最良値2468を上回った。