[論文レビュー] New characterization and parametrization of LCD Codes

Carlet, Claude, Sihem Mesnager+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形補完双対（LCD）符号の新しいシンプレクティック基底特徴付けを導入し、二進LCD符号の最小距離に関する予想を解決する。直交群がLCD符号に作用する様子を分析し、軌道サイズの閉形式の公式を導出し、ほぼすべての二進LCD符号が奇的（odd-like）で、かつその双対も奇的であることを示す。また、$q$ を奇素数べきとする $q$-元LCD符号のうち、およそ半数が正規直交基底を有することを示す。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) cyclic codes were referred historically to as reversible cyclic codes, which had applications in data storage. Due to a newly discovered application in cryptography, there has been renewed interest in LCD codes. In particular, it has been shown that binary LCD codes play an important role in implementations against side-channel attacks and fault injection attacks. In this paper, we first present a new characterization of binary LCD codes in terms of their symplectic basis. Using such a characterization,we solve a conjecture proposed by Galvez et al. on the minimum distance of binary LCD codes. Next, we consider the action of the orthogonal group on the set of all LCD codes, determine all possible orbits of this action, derive simple closed formulas of the size of the orbits, and present some asymptotic results of the size of the corresponding orbits. Our results show that almost all binary LCD codes are odd-like codes with odd-like duals, and about half of q-ary LCD codes have orthonormal basis, where q is a power of an odd prime.

研究の動機と目的

• シンプレクティック基底を用いたLCD符号の新しい特徴付けを提供し、より深い構造的解析を可能にする。
• Galvezらが提起した二進LCD符号の最小距離に関する予想を解決する。
• 直交群がすべてのLCD符号の集合に作用する様子を研究し、その軌道を分類する。
• これらの軌道のサイズの閉形式の公式を導出し、その漸近的挙動を分析する。
• $q$-元LCD符号（$q$ は奇素数べき）のうち、正規直交基底を有するものの割合を特定する。特に、奇素数べきに対してその挙動を分析する。

提案手法

• 二進LCD符号のシンプレクティック基底による新しい特徴付けを導入し、$\mathbb{F}_2$ 上の対称行列の構造と関連付ける。
• 同値関係 $M \sim QMQ^T$ を用いて対称行列を分類し、それらをLCD符号の生成子と関連付ける。
• 直交群 $\mathbb{O}_n(q)$ がLCD符号の集合に作用する様子を分析し、二重コセット $\mathrm{St}({\mathcal{C}}_\pm)\backslash\mathbb{O}_n(q)/\mathbb{P}_n$ を通じて軌道を同定する。
• 群の位数の公式とガウスの二項係数を用いて、軌道サイズ $|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$ の閉形式表現を導出する。
• 漸近的解析を適用し、$k, n-k \to \infty$ の下で $|\mathrm{LCD}_+|$ と $|\mathrm{LCD}|$ の比が $1/2$ に近づくことを示す。
• 直交群と安定化部分群の構造を用いて軌道サイズを計算し、主要な漸近的結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二進LCD符号の最小距離は何か？ また、Galvez らが提起した予想を満たすか？
• RQ2 直交群はすべてのLCD符号の集合にどのように作用するか？ その作用の可能な軌道は何か？
• RQ3 $q$ が奇数のとき、$\mathbb{F}_q$ 上の $[n,k]$ LCD符号の同値でないものの数の閉形式の公式は何か？
• RQ4 $q$-元LCD符号（$q$ は奇素数べき）のうち、正規直交基底を有するものの割合は何か？ その漸近的挙動は？
• RQ5 $n,k \to \infty$ のとき、LCD符号が奇的（odd-like）と偶的（even-like）にどのように分布するか？

主な発見

• Galvez らの二進LCD符号の最小距離に関する予想は、新しいシンプレクティック基底特徴付けを用いて解決された。
• 直交群作用による二進LCD符号のすべての軌道が分類され、軌道サイズの閉形式の公式が導出された。
• $k, n-k \to \infty$ のとき、$|\mathrm{LCD}_+|$ と $|\mathrm{LCD}|$ の比は $1/2$ に近づき、ほぼすべての二進LCD符号が奇的で、かつその双対も奇的であることを示している。
• $q$ が奇素数のべきであるとき、$q$-元LCD符号のうちおよそ半数が正規直交基底を有する。これは漸近的極限 $\lim_{k,n-k\to\infty} \frac{|\mathrm{LCD}_+|}{|\mathrm{LCD}|} = \frac{1}{2}$ によって示された。
• $\mathrm{LCD}[n,k]_q$ のサイズは、$\mathbb{F}_q^n$ の $k$ 次元部分空間の数の $\frac{1}{\prod_{i=1}^\infty (1 + q^{-i})}$ 倍に漸近的に比例しており、これはLCD符号の高い密度を示している。
• $|\mathrm{LCD}_\pm[n,k]_q|$ の公式は、ガウスの二項係数と群の位数を用いて明示的に与えられており、$n$ と $k$ の偶奇に応じて異なる表現を持つ。