[論文レビュー] Complementary Dual Algebraic Geometry Codes

Sihem Mesnager, Chunming Tang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、楕円曲線、超楕円曲線、ハーミート曲線から、代数幾何学的手法を用いて線形補完双対（LCD）符号の新規構成を提示する。これらの符号がMDSまたはほぼMDSとなる条件を確立し、Griesmer不等式を満たす無限族が多数存在することを示しており、これらは最適であり、側帯域攻撃（SCA）に対して強い耐性を示す。

ABSTRACT

Linear complementary dual (LCD) codes is a class of linear codes introduced by Massey in 1964. LCD codes have been extensively studied in literature recently. In addition to their applications in data storage, communications systems, and consumer electronics, LCD codes have been employed in cryptography. More specifically, it has been shown that LCD codes can also help improve the security of the information processed by sensitive devices, especially against so-called side-channel attacks (SCA) and fault non-invasive attacks. In this paper, we are interested in the construction of particular algebraic geometry (AG) LCD codes which could be good candidates to be resistant against SCA. We firstly provide a construction scheme for obtaining LCD codes from elliptic curves. Then, some explicit LCD codes from elliptic curve are presented. MDS codes are of the most importance in coding theory due to their theoretical significance and practical interests. In this paper, all the constructed LCD codes from elliptic curves are MDS or almost MDS. Some infinite classes of LCD codes from elliptic curves are optimal due to the Griesmer bound. Finally, we introduce a construction mechanism for obtaining LCD codes from any algebraic curve and derive some explicit LCD codes from hyperelliptic curves and Hermitian curves.

研究の動機と目的

• 側帯域攻撃（SCA）に対する耐性を高めるために、代数曲線からLCD符号を体系的に構成する手法を開発すること。
• 楕円曲線から得られるLCD符号がMDSまたはほぼMDSとなる条件を同定・特徴付けること。
• 超楕円曲線およびハーミート曲線を含む一般の代数曲線へ構成法を拡張し、明示的なLCD符号パラメータを導出すること。
• 特定の構成符号がGriesmer不等式を満たすことを証明し、その最適性を確立すること。
• 代数幾何学からの無限族の最適LCD符号の存在を理論的および計算的証拠で裏付けること。

提案手法

• 非特異な除法と有理点への評価写像を用いて、楕円曲線からLCD符号を一般に構成するスキームを提案する。
• 双対性条件を適用：符号 $\mathcal{C}(D,G)$ がLCDであるための条件は $\mathrm{g.c.d}(G,H) = 0$ であり、$G + H \sim K + D$ を満たす双対除法 $H$ が存在する。
• 正則微分形式 $\omega$ と canonical 除法 $K$ を用いて、留数条件により双対符号を定義する。
• リーマン・ロッホ定理を用いて $\mathcal{L}(G)$ および $\mathcal{L}(H)$ の次元を解析し、$\mathcal{C}(D,G) \cap \mathcal{C}(D,H)^\perp = \{0\}$ を保証する。
• 超楕円曲線およびハーミート曲線へ一般化する際には、場所の次数と有理関数を用いて $G$ と $H$ を定義する。
• 具体的な例における符号パラメータおよびLCD性質の検証にMAGMAを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何符号が楕円曲線から得られる場合、どのような条件下で同時にLCDおよびMDSとなるか？
• RQ2 代数曲線から得られる無限族のLCD符号がGriesmer不等式を満たすことは可能か？ これは最適性を示唆する。
• RQ3 非有理代数曲線（例：超楕円曲線、ハーミート曲線）からLCD性質を体系的に構成するにはどうすればよいか？
• RQ4 非特異除法はAG符号におけるLCD性質の確保にどのような役割を果たすか？
• RQ5 構成されたLCD符号は、パラメータ解析を通じて実用的に検証可能であり、側帯域攻撃（SCA）に対して耐性があると示せるか？

主な発見

• 本稿で構成された楕円曲線からのすべてのLCD符号は、MDSまたはほぼMDSであり、長さと次元に対して高い最小距離を持つことが示された。
• 楕円曲線から得られるいくつかの無限族のLCD符号はGriesmer不等式を満たしており、与えられた長さと次元における最小距離の最適性が証明された。
• $\mathbb{F}_{64}$ 上の genus 4 の超楕円曲線から得られる明示的なLCD符号は $[126, 30]$ のパラメータを持ち、その双対符号は $[126, 96]$ である。MAGMAによる検証済み。
• $\mathbb{F}_9$ 上の genus 3 のハーミート曲線から得られるLCD符号は $[27, 12]$ のパラメータを持ち、$8\mathcal{O} - 2P$ が非特異であるため、LCD条件が確認された。
• 構成法は任意の代数曲線へ一般化可能であり、定理V.1および定理V.2により、除法の最大公約数と留数条件を用いたLCD符号の十分条件が与えられた。
• 理論的および計算的結果により、構成された符号がLCDであるだけでなく、最適またはほぼ最適であることが確認され、SCA耐性暗号への応用が支持された。