[論文レビュー] New congruences involving Apéry-like numbers

Zhi-Hong Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、中心二項係数を含む超幾何和から導かれる2つのアペリー類似列 $G_n$ および $V_n$ について、新しい超合同式を確立する。再帰関係および組合せ的恒等式を用いて、奇素数 $p > 3$ に対して $G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$ および $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$ を証明する。さらに、二項係数で重み付けされた $G_n$ および $V_n$ の和に関する、$p^2$ や $p^3$ を法とする新たな合同式も提示する。これらの結果は、モジュラー形式および $1/\pi$ のラマヌジャン型級数の文脈における既知の超合同式パターンを拡張する。

ABSTRACT

In this paper we present many congruences for several Apéry-like sequences.

研究の動機と目的

• 奇素数 $p > 3$ を法とする $p^2$ におけるアペリー類似列 $G_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k} 4^{n-k}$ の新たな合同式を導出すること、特に $G_{p-1} \pmod{p^2}$ を対象とする。
• $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2n-2k}{n-k}^2$ の性質を調査し、再帰的性質および $p^3$ を法とする合同式を明らかにすること。
• 素数の二項型二次形式による表現、たとえば $p = x^2 + 4y^2$ や $p = x^2 + 2y^2$ との間の $G_n$ および $V_n$ の関係を確立すること。
• 二項係数を含む重み付き和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ などの超合同式を証明し、類数やヤコビ記号の条件と関連付けること。
• $S_n$、$f_n$、$Q_n$ のような既知の数列の結果を拡張し、$p^2$ および $p^3$ を法とする新たな合同式を証明すること。特に $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ および $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} \equiv 1 \pmod{p^2}$ を対象とする。

提案手法

• $G_n$ に対する2階線形再帰関係 $(n+1)^2 G_{n+1} = (32n(n+1) + 12) G_n - 256n^2 G_{n-1}$ を導出し、これが第2種のアペリー類似列としての地位を確認する。
• 生成関数の恒等式 $V_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-16)^{n-k} G_k$ を用いて $V_n$ を $G_k$ と関連づけ、合同性の性質を移転可能にする。
• 既知の $f_n$、$a_n$、$S_n$ に関する超合同式結果（たとえば $f_{p-1} \equiv 1 + 3p q_p(2) \pmod{p^2}$ および $a_{p-1} \equiv \left(\frac{p}{3}\right)(1 + 2p q_p(3)) \pmod{p^2}$）を応用し、$Q_n$ に関する新たな合同式を導出する。
• ルーカス型の恒等式および $p^2$ を法とする二項係数の和（たとえば $\sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k} \equiv \frac{p}{k+1} \binom{p-1}{k} \pmod{p^2}$）を用いて、重み付き和を簡略化する。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{Q_n}{(-8)^n} = \sum_{k=0}^{p-1} \frac{f_k}{(-8)^k} \sum_{n=k}^{p-1} \binom{n}{k}$ という恒等式を用い、$f_k$ の既知の $p$-進展開を用いて $p^2$ を法として簡約する。
• $Q_n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-8)^{n-k} f_k$ という変換を適用し、$f_k \equiv (-8)^k f_{p-1-k} \pmod{p}$ であることに着目して、$p^2$ を法とする和を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数 $p > 3$ に対して、$G_n$ が $p^2$ を法として満たす超合同式は何か、特に $G_{p-1} \pmod{p^2}$ は？
• RQ2 重み付き和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n}$ は $p^2$ を法としてどのように振る舞い、$G_n$ の算術的構造に何を明らかにするか？
• RQ3 $V_n$ と $G_n$ の関係は何か？ これにより $V_{p-1} \equiv 256^{p-1} \pmod{p^3}$ がどのように導かれるか？
• RQ4 和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{128^n} \binom{2n}{n}$ は、$p = x^2 + 2y^2$ の形での $p$ の表現に関連して表せるか？ また、$p^2$ を法としてその値は何か？
• RQ5 和 $\sum_{n=1}^{p-1} \frac{nS_n}{8^n} \pmod{p^2}$ の振る舞いは何か？ 予想されるように $p^3$ を法とする精密な合同式を満たすか？

主な発見

• 任意の素数 $p > 3$ に対して、$G_{p-1} \equiv (-1)^{(p-1)/2} 256^{p-1} \pmod{p^2}$ が成り立ち、$G_{p-1}$ の値がリーマン記号および $p$ の $4$ を法とする剰余に依存することを示す。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{G_n}{16^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が成り立ち、$16^{-n}$ で重み付けされた $G_n$ の和が $p^2$ を法として消えることを示す。
• $p \equiv 1 \pmod{4}$ かつ $p = x^2 + 4y^2$ である場合、$G_{(p-1)/2} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ であり、そうでない場合は $0 \pmod{p^2}$ となる。これは $G_n$ と二項型二次形式との関係を示す。
• $p \equiv 1,3 \pmod{8}$ かつ $p = x^2 + 2y^2$ である場合、$\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{128^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ であり、そうでない場合は $0 \pmod{p^2}$ となる。
• $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} n G_n}{128^n} \equiv 0 \pmod{p^2}$ が成り立ち、$n$ 要素による重み付き列の和が $p^2$ を法として消えることを示す。
• $p \equiv 1 \pmod{3}$ かつ $p = x^2 + 3y^2$ である場合、$\sum_{n=0}^{p-1} \frac{\binom{2n}{n} G_n}{48^n} \equiv 4x^2 - 2p \pmod{p^2}$ であり、そうでない場合は $0 \pmod{p^2}$ となる。