[論文レビュー] New Construction of Mutually Unbiased Bases in Square Dimensions

Paweł Wocjan, Thomas Beth|ArXiv.org|Jul 12, 2004

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$s$ 階の互いに直交するラテン方陣（MOLS）$w$ 個と一般化ヘッダーマトリクスを用いて、平方次元 $d = s^2$ における相互に偏りのない基底（MUBs）の新規構成法を提示する。この手法により $k = w + 2$ 個の MUBs が得られる。主な貢献は、素数のべきでない平方次元において、標準的な「素数のべきに還元する」構成法よりも多くの MUBs を得られることであり、すべての $s$ に対して $N_{MUB}(s^2) > s^{1/14.8}$ となる下界が、有限個を除き成り立つ。

ABSTRACT

We show that k=w+2 mutually unbiased bases can be constructed in any square dimension d=s^2 provided that there are w mutually orthogonal Latin squares of order s. The construction combines the design-theoretic objects (k,s)-nets (which can be constructed from w mutually orthogonal Latin squares of order s and vice versa) and generalized Hadamard matrices of size s. Using known lower bounds on the asymptotic growth of the number of mutually orthogonal Latin squares (based on number theoretic sieving techniques), we obtain that the number of mutually unbiased bases in dimensions d=s^2 is greater than s^1/14.8 for all s but finitely many exceptions. Furthermore, our construction gives more mutually orthogonal bases in many non-prime-power dimensions than the construction that reduces the problem to prime power dimensions.

研究の動機と目的

• 平方次元 $d = s^2$ における相互に偏りのない基底（MUBs）を構成する新しい手法を開発し、素数のべきでない場合に既存の手法を上回ることを目的とする。
• $(s, k)$-ネット、互いに直交するラテン方陣（MOLS）、および一般化ヘッダーマトリクスの間の関係を、MUBs 構成に結びつけること。
• MOLS の増加に関する漸近的結果を活用して、平方次元における MUBs 個数の下界を改善すること。
• 提案手法が、特に $s \geq 76$ の場合に、無限個の平方次元において「素数のべきに還元する」手法よりも多くの MUBs を得ることを示すこと。

提案手法

• $s$ 階の互いに直交するラテン方陣（MOLS）$w$ 個と $s$ 階の一般化ヘッダーマトリクスを用いて、次元 $d = s^2$ における $k = w + 2$ 個の相互に偏りのない基底を構成する。
• $(s, k)$-ネットから得られるインシデントベクトルを用い、$mathbb{C}^{s^2}$ のヒルベルト空間内での各基底に対応する $s$ 個のインシデントベクトルのブロックを定義する。
• インシデントベクトルに直交性および均等な重なりの性質を課すことにより、相互に偏りのない性質を満たす内積条件を保証する。
• $s$ 階の $w$ 個の MOLS と $(s, w+2)$-ネットの存在の同値性を活用し、組合せデザインを量子基底構成に翻訳する。
• 数論的ふnow（sieve）技法を用いて $N_{MOLS}(s)$ の漸近的増加を評価し、$N_{MUB}(s^2)$ の下界を導出する。
• 合成次元 $d = s^2 p$（$p$ は $s$ を割らない素数）に対しては、本手法と「素数のべきに還元する」手法を組み合わせることで、MUBs 個数をさらに向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数のべきでない場合に、標準的な「素数のべきに還元する」手法を上回る、平方次元 $d = s^2$ における相互に偏りのない基底（MUBs）の新規構成法を開発できるか？
• RQ2 相互に直交するラテン方陣（MOLS）、$(s, k)$-ネット、および相互に偏りのない基底の構成との間にはどのような関係があるか？
• RQ3 $s$ 階の MOLS 個数の漸近的増加は、次元 $d = s^2$ における MUBs 個数の下界にどのように影響するか？
• RQ4 どの平方次元 $d = s^2$ において、本手法が「素数のべきに還元する」手法よりも多くの MUBs を得るか？
• RQ5 本手法は、$d = s^2 p$ のような合成平方次元において、既存の手法と組み合わせて MUBs 個数を向上させられるか？

主な発見

• $s$ 階の $w$ 個の相互に直交するラテン方陣（MOLS）が存在する限り、次元 $d = s^2$ において $k = w + 2$ 個の相互に偏りのない基底が得られる。
• $s \geq 76$ の場合、$N_{MOLS}(s) \geq 6$ であるため、次元 $d = s^2$ において少なくとも 8 個の相互に偏りのない基底が保証される。
• 無限個の平方次元において、本手法は「素数のべきに還元する」手法よりも多くの MUBs を得る。特に $s \in \mathcal{M} = \{s \in \mathbb{N} \mid s \equiv 2 \pmod{4}\}$ の場合、後者は僅か 5 個の MUBs のみを生成する。
• 既知の $N_{MOLS}(s)$ の増加に関する結果に基づき、すべての $s$ に対して $N_{MUB}(s^2) > s^{1/14.8}$ となる下界が、有限個を除き成り立つ。
• $d = 26^2 = 676$ の場合、$N_{MOLS}(26) \geq 4$ であるため、本手法により少なくとも 6 個の MUBs が得られるが、「素数のべきに還元する」手法では最小素数のべき因子が 4 であるため、わずか 5 個の MUBs のみが得られる。
• 次元 $d = s^2 p$ のような合成次元において、本手法を「素数のべきに還元する」アプローチと組み合わせることで、単独の手法よりも多くの MUBs を得られる。例えば $d = 26^2 \cdot 7$ では 6 個の MUBs が得られる。