[論文レビュー] New Constructions of SD and MR Codes over Small Finite Fields

Guang‐Da Hu, Sergey Yekhanin|arXiv (Cornell University)|May 8, 2016

Advanced Data Storage Technologies参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、小さな有限体上でのSDおよびMRコードの新しい明示的構成を提示し、3つの重み付きパリティを持つSDコードに対して最適な体サイズの成長O(n)を達成するとともに、2つのローカルグループと4で割り切れる定数hの状況において、先行研究を改善したMRコードの構成を実現した。本手法は連続する指数1,2,3,…を用いたヴァンデルモンド型パリティ検査行列を採用し、より小さな体サイズを実現するとともに、従来の線形化された構成の制限を克服した。

ABSTRACT

Data storage applications require erasure-correcting codes with prescribed sets of dependencies between data symbols and redundant symbols. The most common arrangement is to have $k$ data symbols and $h$ redundant symbols (that each depends on all data symbols) be partitioned into a number of disjoint groups, where for each group one allocates an additional (local) redundant symbol storing the parity of all symbols in the group. A code as above is maximally recoverable, if it corrects all erasure patterns that are information theoretically correctable given the dependency constraints. A slightly weaker guarantee is provided by SD codes. One key consideration in the design of MR and SD codes is the size of the finite field underlying the code as using small finite fields facilitates encoding and decoding operations. In this paper we present new explicit constructions of SD and MR codes over small finite fields.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおける符号化および復号の効率を向上させるために、小さな有限体上での明示的SDおよびMRコードを構築すること。
• 特にh > 2の場合に大きな有限体を必要としてしまう、先行研究の制限を克服すること。
• h = 3のSDコードに対して最適な体サイズ成長（O(n)）を達成するとともに、2つのローカルグループ設定下でのMRコードの体サイズ上限を改善すること。
• 線形化された構成の非最適な体サイズを回避するヴァンデルモンド型構成を開発すること。

提案手法

• 連続する指数1,2,3,…を用いたヴァンデルモンド型パリティ検査行列を採用し、O(n)の体サイズで実現可能な、h=3およびr=O(1)の新しい家族の(h,r,k)-SDコードを提案する。
• 多項式補間と有限体の性質を用いた、構造化されたパリティ検査行列に基づく、(k,r,h)-ローカルMRコードの一般構成を導入する。
• 拡大体内の要素の線形独立性に基づくランクの議論を用いて、エラーパターン下でのパリティ検査行列のフルランクを証明する。
• 有限体上での多項式補間を用いて、ローカルおよび重み付きパリティ制約を満たすコード語を構築し、最大再構築性を保証する。
• 体のトレースおよびフロベニウス自己同型写像の技術を用いて、評価点の線形独立性を分析し、体サイズの上限を導出する。
• 行列Mの構造とその行列式を活用して、特定のグループサイズ制約下での非特異性を証明し、符号の正しさを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 h=3のSDコードを、体サイズがnに比例して成長する小さな有限体上に明示的に構築することは可能か？
• RQ2 hが4で割り切れる場合に、非線形化された構成を用いて、2つのローカルグループとn^{h/2}の体サイズを持つMRコードを構築することは可能か？
• RQ3 MRコードにおいて、ヴァンデルモンド型構成は線形化された構成よりも体サイズの面で優れていると示せるか？
• RQ4 h > 2でg=2のとき、MRコードに必要な最小の体サイズは何か？ そして、明示的構成によって達成可能か？
• RQ5 すべてのグループについてr_i ≤ ⌈h/g⌉+1 という制約下で、行列Mの行列式が非ゼロであることを示せるか？

主な発見

• 本稿では、h=3およびr=O(1)の明示的SDコードを、体サイズO(n)の有限体上に構築し、このパrameter設定下での最適な体サイズ成長を達成した。
• g=2のローカルグループとhが4で割り切れるMRコードに対して、本構成は体サイズn^{h/2}を達成し、先行研究を改善した。
• 提案された構成はヴァンデルモンド型であり、連続する指数1,2,3,…を用いるため、線形化された構成の非最適な体サイズを回避した。
• 線形化された構成では、O(n^{h/2})より良い体サイズを達成できないことが証明され、この設定下でのヴァンデルモンドアプローチが漸近的に最適であることが示された。
• 各グループあたりの情報シンボルのエラー数が⌈h/g⌉+1を超えないという条件下で、行列Mの行列式が非ゼロであることが示され、符号の正しさが保証された。
• すべての情報理論的に復帰可能なエラーパターン下で、パリティ検査行列のランクがフルランクのままであることを示したことで、構成が最大再構築性を有することが証明された。