[論文レビュー] New Convex Programs for Fisher's Market Model and its Generalizations

Nikhil R. Devanur, Kamal Jain+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2016

Economic theories and models参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般化されたフィッシャーマーケットモデルのための2つの新しい凸計画問題を導入する：売り手が収益上限を設定するモデル（M₁）と買い手が効用上限を設定するモデル（M₂）であり、両者とも古典的な Eisenberg-Gale および Shmyrev の凸計画問題を拡張する。主な貢献は、これらのモデルが有理数解を有し、楕円体法を用いて多項式時間で解けることを証明した点であり、変数変換の下で双対問題が同等であることが示された。

ABSTRACT

We present the following results pertaining to Fisher's market model: -We give two natural generalizations of Fisher's market model: In model M_1, sellers can declare an upper bound on the money they wish to earn (and take back their unsold good), and in model M_2, buyers can declare an upper bound on the amount to utility they wish to derive (and take back the unused part of their money). -We derive convex programs for the linear case of these two models by generalizing a convex program due to Shmyrev and the Eisenberg-Gale program, respectively. -We generalize the Arrow-Hurwicz theorem to the linear case of these two models, hence deriving alternate convex programs. -For the special class of convex programs having convex objective functions and linear constraints, we derive a simple set of rules for constructing the dual program (as simple as obtaining the dual of an LP). Using these rules we show a formal relationship between the two seemingly different convex programs for linear Fisher markets, due to Eisenberg-Gale and Shmyrev; the duals of these are the same, upto a change of variables.

研究の動機と目的

• 古典的なフィッシャーマーケットモデルを拡張し、売り手が収益上限を設定する（M₁）および買い手が効用上限を設定する（M₂）という自然な制約を導入すること。
• これらの一般化されたモデルにおける均衡配分を捉える凸計画問題を構築すること、特に線形効用関数の場合を対象とする。
• これらのモデルにおいて均衡が存在し、有理数解を有することを証明し、楕円体法を用いて多項式時間で計算可能であることを示すこと。
• 線形効用関数の下で、Eisenberg-Gale と Shmyrev の凸計画問題の間の正式な双対性関係を確立すること。
• 新しいモデルに向けた Arrow-Hurwicz 定理の拡張を行い、線形効用関数の場合の代替凸計画問題を導出すること。

提案手法

• Eisenberg-Gale 凸計画問題を一般化し、M₂（買い手の効用上限）をモデル化するための、新たな効用制約付き配分の定式化を用いる。
• Shmyrev の凸計画問題（CP）を一般化し、M₁（売り手の収益上限）をモデル化する。変数を再定義し、配分ではなく価格と支出を表すようにする。
• 凸目的関数と線形制約を持つ凸計画問題に適用可能な、新しい単純な双対性ルールを用いて、M₁ および M₂ の双対凸計画問題を導出する。
• 変数変換の下で、Eisenberg-Gale と Shmyrev の凸計画問題の双対問題が同等であることを示し、二つの見かけ上異なる定式化を統合する。
• 楕円体法を用いて凸計画問題を解くために、Arrow-Hurwicz 定理の拡張に基づく多項式時間の分離オракルを構築する。
• 両モデルにおける効用および予算パラメータから導かれる価格の境界を用いて、初期楕円体のバウンディングボックスを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 売り手が収益上限を課し、買い手が効用上限を課す場合、フィッシャーマーケットに均衡が存在するか？
• RQ2 これらの一般化されたモデルにおける均衡配分を捉える凸計画問題を構築できるか？
• RQ3 入力パラメータが有理数である場合、これらのモデルにおける均衡が有理数解を有するか。これにより、多項式時間での計算が可能になるか？
• RQ4 線形効用関数および制約の下で、Eisenberg-Gale と Shmyrev の凸計画問題の関係は何か？
• RQ5 線形効用関数の下で、Arrow-Hurwicz 定理を拡張し、M₁ および M₂ に対して代替の凸計画問題を導出できるか？

主な発見

• 線形効用関数の下で、一般化されたフィッシャーマーケットモデル M₁（売り手の収益上限）および M₂（買い手の効用上限）は均衡を有する。
• Eisenberg-Gale および Shmyrev の凸計画問題をそれぞれ拡張することで、M₁ および M₂ のための凸計画問題が構築され、正式な双対性関係が確立された。
• 変数変換の下で、Eisenberg-Gale と Shmyrev の凸計画問題の双対問題が同等であることが示され、深い構造的関係が明らかになった。
• 入力パラメータが有理数である場合、両モデルにおいて有理数解を有する均衡が存在し、楕円体法により多項式時間で解けることが保証された。
• 一般化された Arrow-Hurwicz 定理に基づき、楕円体法用の分離オラクルが多項式時間で実装可能であり、効率的な均衡計算が可能になった。
• M₂ については、0 < ρ < 1 である Leontief および CES 効用関数に対しても、凸計画問題が提供されており、線形効用関数を超えた拡張がなされた。