[論文レビュー] Online Packing and Covering Framework with Convex Objectives

Niv Buchbinder, Shahar Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2014

Optimization and Search Problems参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、制約と変数がオンラインで到着する凸目的関数を伴う分数型被覆・被包問題に対する、新規のオンライン主双対フレームワークを提示する。このフレームワークは、凸関数 f の滑らかさおよび単調性パラメータに依存する競合比を達成し、従来の線形目的関数フレームワークを一般化し、複数のコストを伴うオンライン集合被覆、容量制約付き施設配置、非分離生産コストを伴うマルチキャストなど、新たなまたは改善された競合アルゴリズムを可能にする。

ABSTRACT

We consider online fractional covering problems with a convex objective, where the covering constraints arrive over time. Formally, we want to solve min{f(x)∣Ax≥1,x≥0}, where the objective function f:Rn→R is convex, and the constraint matrix Am×n is non-negative. The rows of A arrive online over time, and we wish to maintain a feasible solution x at all times while only increasing coordinates of x. We also consider "dual" packing problems of the form max{c⊺y−g(μ)∣A⊺y≤μ,y≥0}, where g is a convex function. In the online setting, variables y and columns of A⊺ arrive over time, and we wish to maintain a non-decreasing solution (y,μ). <br>We provide an online primal-dual framework for both classes of problems with competitive ratio depending on certain "monotonicity" and "smoothness" parameters of f; our results match or improve on guarantees for some special classes of functions f considered previously. <br>Using this fractional solver with problem-dependent randomized rounding procedures, we obtain competitive algorithms for the following problems: online covering LPs minimizing ℓp-norms of arbitrary packing constraints, set cover with multiple cost functions, capacity constrained facility location, capacitated multicast problem, set cover with set requests, and profit maximization with non-separable production costs. Some of these results are new and others provide a unified view of previous results, with matching or slightly worse competitive ratios.

研究の動機と目的

• オンライン制約の到着を伴う分数型凸被覆・被包問題に対する一般化されたオンライン主双対アルゴリズムの開発。
• 従来線形目的関数に限られていた古典的オンライン主双対フレームワークを、一般の凸目的関数へ拡張すること。
• 凸関数 f の滑らかさおよび単調性パラメータに依存する競合比の保証を提供すること。
• 問題固有の確率的丸めを用いてフレームワークを多様なオンライン問題に適用し、新たなまたは改善された競合アルゴリズムを導出すること。
• 集合被覆（複数コスト付き）、施設配置、容量および生産コスト制約付きマルチキャストなどの問題に関する先行結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 双対変数 y が減少を許容するアルゴリズムと、すべての変数（y を含む）に単調性を課するアルゴリズムの2つのオンライン主双対アルゴリズムを提案。
• 滑らかさおよび単調性を捉えるために、勾配の比 ∇ℓf(z)/∇ℓf(cz) および項 (z⊺∇f(z) − f(z))/f(cz) を用いた競合比の上限を導出。
• 混合被覆・被包線形計画問題、複数のコスト関数を伴う集合被覆、容量制約付き施設配置などの問題の凸緩和にフレームワークを適用。
• 問題依存の確率的丸めを用いて分数解を整数解に変換し、制御された加法的誤差を確保。
• スケーリングと丸めのスキームを採用し、チェルノフ不等式による集中不等式を満たすようにし、高確率で妥当性を維持。
• 非分離生産コストを伴う問題を、フレームワークと互換性のある形に変換するための双対変数変換を導入。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 被覆・被包問題におけるオンライン主双対フレームワークを、線形目的関数から凸目的関数へ拡張可能か？
• RQ2 凸目的関数に対して達成可能な競合比は何か？ また、f の滑らかさおよび単調性パラメータはその競合比にどのように影響するか？
• RQ3 本フレームワークは、複数コスト付き集合被覆や容量制約付き施設配置などの既存のオンライン問題の結果を統一的または改善可能か？
• RQ4 非分離生産コストを伴う問題において、加法的誤差を伴う確率的丸めが競合比に与える影響は何か？
• RQ5 導出された競合比は、線形目的関数の特殊ケースにおける既知の下界と比較してどうか？

主な発見

• 線形目的関数の場合、単調な主変数に対して O(log d)-競合比を達成し、既知の下界と一致する。
• 一般の凸目的関数の場合、競合比は f の滑らかさおよび単調性パラメータに依存し、勾配比を用いた明示的な上限が提示されている。
• 負荷ベクトルの ℓp-ノルムを最小化する混合被覆・被包線形計画問題に対して、O(p log d)-競合比のアルゴリズムが得られる。
• 容量制約付き施設配置問題に対して、O(log²m)-競合比の分数解が達成され、これに確率的丸めを適用することで O(log²m log mn)-競合比のランダム化オンラインアルゴリズムが得られる。
• 容量制約付きマルチキャスト問題に対して、O(log²m log mn)-競合比のアルゴリズムが得られ、容量違反は O((d + log²m) log mn) に抑えられる。
• 非分離生産コストを伴う利益最大化問題に対して、(1−1/m)OPT/O(p log Rd)p −g(O(log m)·1) の期待利益が達成され、凸緩和では加法的誤差を避けられない。